Контрольная работа по "Математическому анализу"

11. Вычислить указанные пределы

 

а)

 

Разложим числитель и знаменатель  на множители

 

 

 

б)

 

Разделим числитель и знаменатель  на

 

 

в)

 

Используем первый замечательный  предел

 

 

 

г)

 

Используем второй замечательный  предел

 

 

 

31. Найти производные первого  порядка 

 

а)

 

 

б)

 

 

в) Для заданной функции  зависимости спроса от цены товара найдите значение эластичности спроса , когда цена товара . Укажите, является ли спрос эластичным, нейтральным или неэластичным.

 

Решение: найдём значение спроса при цене :

 

Найдем производную:

 

 

 

Функция эластичности спроса по цене:

 

Вычислим значение эластичности в  точке  :

 

Коэффициент эластичности в данной точке по модулю меньше единицы, поэтому спрос на данный товар неэластичен.

 

Ответ: , спрос неэластичен

 

 

51. Исследовать данную функцию  методами дифференциального исчисления  и построить её график

 

 

Решение: Проведем исследование функции.

 

1) Функция определена на всей  числовой прямой,  область определения: – любое число.

Область значений: – любое число.

 

2)

, , значит, данная функция не является четной или нечетной.

Функция непериодическая.

 

3) Функция непрерывна на всей  числовой прямой, очевидно, что вертикальные  асимптоты отсутствуют.

 

4) Исследуем функцию на наличие  наклонных асимптот:

 

Таким образом, наклонные (а значит, и горизонтальные) асимптоты отсутствуют.

 

5) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

 

 – критические точки.

 

Определим знаки  :

 

Функция возрастает на интервале и убывает на .

 

В точке  функция достигает минимума: .

 

В точке  функция достигает максимума: .

 

6) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

 

 

 – критическая точка.

 

Определим знаки  :

График  является вогнутым на и выпуклым на .

 

В точке  существует перегиб графика:

 

7) Найдем дополнительные точки и построим график:

 

	-1	-0,5	0	2	4	6	7
	7,33	2,29	-1	-1,67	5,67	5	-3,33

 

8) Найдём наибольшее  и наименьшее значения функции  на отрезке  .

 

Значение функции в  критической точке, принадлежащей  данному отрезку:

 

Значения функции на концах отрезка: ,

 

Таким образом: ,

 

 

71. Найти неопределённые  интегралы

 

а)

 

Проведем замену:

 

 

 

б)

 

Интегрируем по частям:

 

 

в) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  , ,

 

Решение: Выполним чертеж:

 

 

На отрезке    , по соответствующей формуле:

 

 

Ответ:

 

91. Исследовать на локальный экстремум заданную функцию двух переменных

 

Решение: Найдем стационарные точки:

 – подставим во второе уравнение:

 

  – стационарная точка.

 

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, ,

 

, значит, экстремума не существует.

 

 

Ответ: экстремума не существует

 

 

111. Пусть  – время, – количество продукции, реализованной к моменту времени . В предположении о ненасыщаемости рынка можно считать скорость изменения величины пропорционально самой величине с постоянным коэффициентом пропорциональности . Считая, что рынок является ненасыщаемым, что известен коэффициент , а также, что известно значение величины в момент времени , требуется:

 

– составить дифференциальное уравнение динамики изменения количества выпускаемой продукции;

– решить это уравнение;

– найти количество продукции, реализованной  за время  .

 

Решение: В соответствии с условием составим дифференциальное уравнение:

 

Найдём общее решение:

 

 

По условию известно значение в момент времени , таким образом:

 

Функция реализованной продукции:

 

Найдём количество продукции, реализованной  за время  :

 

Ответ: ,

 

 

131. Дан степенной ряд . Написать первые  четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и проверить сходимость ряда на концах найденного интервала.

 

Решение: Запишем первые четыре члена ряда:

 

Найдем интервал сходимости данного  ряда. Используем признак Даламбера:

Ряд сходится при 

 – интервал сходимости  исследуемого степенного ряда.

 

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

 

1) При   

 

Используем признак Лейбница.

 

Данный ряд является знакочередующимся.

 – члены ряда убывают  по модулю. Каждый следующий член  ряда по модулю меньше, чем  предыдущий, то есть убывание  монотонно.

 

Ряд сходится по признаку Лейбница.

 

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

 – сравним данный ряд  с расходящимся гармоническим  рядом 

 

Используем предельный признак  сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

 

Таким образом, ряд  – сходится только условно. 

 

2) При    – расходится.

 

Ответ: Первые три члена ряда:

 

Область сходимости исследуемого ряда: , при ряд сходится только условно.