Контрольная работа по "Математическая статистика"

Вариант 2(математическая статистика)

Задача 1. Имеется распределение месячной зарплаты рабочих:

Месячная зарплата, р.	300	350	400	450
Число рабочих	11	7	5	2

 

Вычислить выборочные среднюю, размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

 

Решение:

Объем выборки N=11+7+5+2=25

Найдем  выборочную среднюю:

 

Оценка  дисперсии

, где s² – несмещенная оценка генеральной дисперсии;

Оценка  среднего квадратического отклонения

Размах вариации равен:

 

Расчет  коэффициента вариации

Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:

 

 

 

 

Задача  2. Методом случайной повторной выборки обследуется дневная выработка рабочих ткацкой фабрики. Считая, что дневная выработка имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 24 м, определить необходимый объем выборки, который позволит утверждать, что точность интервальной оценки средней дневной выработки равна 4 м с надежностью 0,9995.

 

Решение:

Генеральная средняя  отличается от выборочной средней выборочной на величину ошибки выборки : .

По условию  задачи известно, что точность интервальной оценки средней дневной выработки равна 4 м, т.е.

Предельная  ошибка выборки для средней определяется по формуле при повторном отборе:

С вероятностью 0,9544 ошибка выборки не превысит двух средних ошибок , так как значение t при равно 2.

Подставляя  значения в формулу ошибки выборки, получим:

 

 

,   ,  ,  

 

С вероятностью 0,9544 можно утверждать, что необходимый объем выборки

 

 

Задача 3. Установить при уровне значимости 0,05, случайно или значимо, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения, что признак Х распределен нормально:

т3	5	10	35	70	100	80	20	10
тt	6	13	37	78	95	65	27	9

 

Решение:

Выдвигаем нулевую гипотезу Н₀ и ей конкурирующую Н₁.

Н₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область.

Проверим  гипотезу с помощью случайной  величины _^, которая имеет распределение с степенями свободы.

Вычислим  наблюдаемое значение критерия  по выборочным данным.

Составим  таблицу:

 

mэ	mt	mэ - mt	(mэ - mt)2	(mэ - mt)2 / mt
5	6	-1	1	0,17
10	13	-3	9	0,69
35	37	-2	4	0,11
70	78	-8	64	0,82
100	95	5	25	0,26
80	65	15	225	3,46
20	27	-7	49	1,81
10	9	1	1	0,11

 

При уровне значимости 0,05 и  имеем

Т.к. , гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности согласуется с эмпирическими данными. Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайно.

 

Задача 4. Для испытания шерстяной ткани на прочность произведены две выборки объемами п_х = 40 и n_y = 30. Средняя прочность оказалась равной  135 г и 138 г. Предварительные исследования показали, что прочность шерстяной ткани в генеральных совокупностях Х и Y имеют нормальное распределение с дисперсиями 20 и 35. При уровне значимости 0,01 определить существенность расхождения между средними в обеих выборках.

 

Решение:

,

Пусть и - математические ожидания прочности ткани первой и второй выборки.

Дисперсия известна: , . В качестве критерия справедливости статистической гипотезы выбирается функция

, распределенная по нормальному закону с параметрами (0,1).

 

 

 

При уровне значимости 0,01 и  имеем .

Это значит, что критическая область  есть интервал

Полученное  значение принадлежит критической области, следовательно, расхождения между средними существенна.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции (У, тыс. р.) от основных фондов (X, тыс. р.) однотипных предприятий получены следующие данные:

Х	9	22	35	48	61
Y	3	8	9	14	20

 

Полагая, что между X и У имеет место линейная зависимость, определить выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение регрессии и объяснить его.

 

Решение:

 

Найдем коэффициент корреляции

 

 

 

 

 

 

 

Найдем выборочные средние квадратические отклонения

 

 

Вычислим выборочный коэффициент  корреляции по формуле:

 

Итак, имеем 

 

Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (tкр.α) при заданном уровне значимости α. Если вычисленное t по модулю окажется меньше чем (tкр.α), то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.

 

 

 

Определим по таблице t-распределения  критическое значение параметра  tкр.α

В нашем случае число степеней свободы  есть n - 2 = 5 - 2 = 3 и α = 0,05 , что соответствует критическому значению критерия tкр.α  = 2,353 (см. табл.)

Абсолютное значение t-критерия больше критического 8,54 > 2,353, следовательно корреляционная связь между Х и У достоверна.

Тогда уравнение линейной  регрессии  Y на X  имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

-  уравнение линейной регрессии

В уравнении    коэффициент регрессии равен +3,12.

В данном случае экономический смысл уравнения состоит в том, что увеличение денежных доходов на 1 рубль приводит в среднем к увеличению расходов  на 3,12 руб.

Построим  уравнение регрессии.