Контрольная работа по "Линейной алгебре"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный  экономический университет»

Центр дистанционного образования

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Линейная алгебра

по теме: вариант № 1

 

Исполнитель: студентка

Направление Бакалавр экономики

Профиль Финансы и кредит

Группа ФК – 12 ТД

Ф.И.О 

 

 

 

 

                                          

                                            2013

 

 

 

1. Вычислить определитель

 

Разложим за строкой №4. Перед  этим, для удобства, сделаем некоторые  преобразования. Для этого элементы столбца №4 умножаем на 1 и складываем с элементами столбца №1 умноженными  на 2. Все остальные столбцы оставляем  без изменений.

 

 

Разложим  по строке №4

 

 

в трех слагаемых присутствует умножение  на ноль остается только один. Разложим за строкой №1.

 

 

 

Ответ: определитель равен -584

 

2. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

 

 

Найти обратную матрицу А^-1. Припишем справа к исходной матрице единичную.

 

 

Требуется привести левую часть расширенной  матрицы к единичной. В результате чего правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной.

 

 

 

Делим строку №1 на а1,1 = -1

 

Вычитаем  из строки № 2 строку № 1  умноженную на a_2,1= 1, вычитаемая строка = (1 -6 7 -1 0 0)

 

 

Делим строку №2 на a_2,2 =  -2 умножим на 1 и вычтем из строки №3, вычитаемая строка = (0 1 2 -1/2 -1/2 0)

 

 

Делим строку 3 на a_3,3 = -3

 

 

 

Вычитаем  из строки №2 строку №3 умноженную на a_2,3= 2, вычитаемая строка (0 0 2 -1/3 -1/3 -2/3)

Вычитаем  из строки №1 строку №3 умноженную на a_1,3=7, вычитаемая строка (0 0 7 -7/6 -7/6 -7/3)

 

 

Вычтем  из строки №1 строку №2 умноженную на a_1,2= -6, вычитаемая строка (0 -6 0 1 1 -4)

В полученной расширенной матрице, левая часть  является единичной матрицей, а правая обратная к исходной.

Проверка: для проверки перемножаем исходную и полученную матрицы, А * А^-1 назовем её матрицей С :

 

Вычислим  элементы матрицы C :

 

с11=(-1)*(-5/6)+6*(-1/6)+(-7)*(-1/6)=5/6-1+7/6=1

с12= (-1)*1/6+6*(-1/6)+(-7)*(-1/6)=-1/6+(-1)+7/6=0

с13=(-1)+19/3+6*(-1/6)+(-7)*(-1/3)=-19/3+4+7/3=0

с21=1*(-5/6)(-8)*(-1/6)+3*(-1/6)=1/6+4/3+(-1/2)=0

с22=1*1/6+(-8)*(-1/6)+3*(-1/6)=1/6+4/3+(-1/2)=1

с23=1*19/3+(-8)*2/3+3*(-1/3)=19/3+(-16/3)+(-1)=0

с31=0*(-5/6)+1*(-1/6)+(-1)*(-1/6)=0+(-1/6)+1/6=0

с32=0*1/6+1*(-1/6)+(-1)*(-1/6)=0+(-1/6)+1/6=0

с33=0*19/3+1*2/3+(-1)*(-1/3)=0+2/3+1/3=1

Получим единичную матрицу 

 

Тема 2. Системы линейных уравнений

 

Решить  систему линейных уравнений двумя  способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса.

Дано:

 

 

2.1 Метод обратной матрицы

 

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли, необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы были равны.

Основная 

 

Расширенная

 

 

Ранг  основной А равен 3 расширенной В тоже 3 количество неизвестных N также равно 3. Значит система имеет единственное решение.

Если ввести матричные обозначения

 

 

Значит  N= A^-1*C

 

Найти обратную матрицу А^-1. Припишем справа к исходной матрице единичную и

 

 разделим строку №1 на 2

 вычтем строку №1 из нижних строк умножая на 1 и 1 соответственно

 

 делим строку №2 на 9/2

 

 

 Вычитаем строку №2 из нижних строк умножая на 3/2

 Вычитаем строку №3 из вышестоящих умножая на -1 и 3/2 соответственно

 Вычитаем строку №2 из вышестоящих умножая на -3/2

определитель матрица уравнение  координата

 Обратная матрица

Для нахождения матрицы N умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С

 

 

 

x = 1/3*(-10)+1/3*13+0*0=1

y = -4/9*(-10)+(-1/9)*13+1*0=3

z = -1/3*(-10)+(-1/3)*13+1*0=-1

Ответ: x= 1, y= 3, z= -1 .

2.2 Метод Гауса

 

Совместимость матриц приведена в предыдущем задании, опустим его. Данные приведены там  же. При вычислении буду использовать десятичные дроби, при данном способе  они удобней.

Приведем  расширенную матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, при котором  все элементы ниже главной диагонали  равны 0.

 

 

 

 

Левая часть  расширенной матрицы В будет является ответом на задание, x = 1; y = 3; z = -1; сравнив результаты с ответами на задание 2.1 увидим, что они равны.

Ответ: x= 1, y= 3, z= -1 .

Тема 3,4 Уравнение плоскости

Даны  две точки М₁ и М₂.

1. Составить  общее уравнение плоскости, проходящей  через точку М₁ перпендикулярно вектору n = M₁M₂

2. Определить  длины отрезков, отсекаемые плоскостью  от осей координат.

Сделать чертеж.

 

М₁ (4;-2;0); М₂ (4;2;5)

 

Решение

уравнение плоскости это уравнение вида

 

A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0

 

Где ( А ; В ; С ) координаты нормального вектора ( x₁ ; y₁ ; z₁ ) координаты точки принадлежащей плоскости.

Найдем  координаты нормального вектора  n

Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М¹ (4 ; -2 ; 0 ) и перпендикулярно вектору n 0 ; 4 ; 5 будет

 

0 * ( x – 4) + 4 * ( y – (–2 ) ) + 5 * ( z – 0) = 0

0 x – 0 + 4 y + 8 + 5z – 0 = 0

4 y + 5 z +8 = 0 уравнение не полное

4 y + 5 z +8 = 0 - уравнение плоскости параллельной оси X

 

Решение

 

 

 

Уравнение плоскости 4 y + 5 z +8 = 0 плоскость параллельна оси Ox и не пресекает её и не отсекает никаких отрезков.

Плоскость пресекает ось Oy в точке с координатами где координата по оси Oz = 0

 

                4 y + 5 z +8 = 0

4 y + 5 * 0 +8 = 0

4 y +8 = 0

y = – (8/4)

y = – 2

Величина  отрезка по оси Oy равна 2

Плоскость пресекает ось Oz в точке с координатами где координата по оси Oy = 0

 

4 y + 5 z +8 = 0

4 * 0 + 5 z +8 = 0

5 z +8 = 0

z = – (8/5)

z = – 1.6

 

Величина  отрезка по оси Oz равна 1.6

Ответ: величина отрезка по оси Oy равна 2 ; величина отрезка по оси Oz равна 1.6