Контрольная работа по дисциплине "Линейная алгебра"

Контрольная работа №1

 

1. Даны матрицы

 и 

Найти ранг матрицы С = А·В.

Решение.

Вычислим ранг матрицы С: приведем матрицу С к ступенчатому виду

Поучили ступенчатую матрицу, размера 3х4, у которой три ненулевых элемента на главной диагонали, следовательно, ранг равен r(C) = 3.

Ответ: ранг матрицы С равен 3.

 

2. Методом обратной  матрицы решить систему:

Решение.

В матричной форме систему из n линейных уравнений  c n неизвестными можно записать так:

АХ = В,

где А – основная матрица коэффициентов системы;

Х – матрица-столбец неизвестных;

В – матрица-столбец свободных членов. Умножив слева обе части равенства АХ = В на А-1 (А-1 существует, если ¹ 0), получим  А-1АХ = А-1В; ЕХ = А-1В, здесь Е – единичная матрица.

Следовательно, Х= А-1В.

Найдем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу.

Обратная матрица А-1 определяется по формуле

где Аij – алгебраические дополнения элементов ij данной матрицы А.

Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:

   

 

.

Обратная матрица имеет вид

Найдем  теперь решение системы Х=А-1В

Проверка:

     Верно

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 1.

 

3. Установить, имеет  ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

Решение.

Однородная система всегда совместна. Определим теперь ранг основной матрицы системы: RgA.

Так как ранг матрицы (Rg = 2) меньше чем количество неизвестных в системе (n = 4), то система имеет бесконечное множество решений.

Найдем решения системы.

  

Выберем неизвестные x2 и х4 в качестве свободных, принимаем х2 = а, х4 = b. Тогда х1 = -a+0,5b; x2 = a; x3 = -1,5b; x4 = b.

Проверка (по исходной системе).

    Верно.

Ответ: х1 = -a + 0,5b; x2 = a; x3 = -1,5b; x4 = b.

 

4. Найти значение параметра α, при котором векторы и перпендикулярны, если и .

Решение.

Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Составим скалярное произведение векторов:

Ответ: .

 

5. Даны четыре  вектора  , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Покажем, что векторы , , образуют базис.

Ранг матрицы равен rg(A) = 3. Так как rg(A) = 3 = n = 3, то система линейно независима. Векторы , , образуют базис в R3.

Разложим вектор по базе

Решим систему с помощью метода Крамера.

, ,

, ,

Тогда , ,

Проверка:

        Верно

Ответ:

 

6. Найти собственные  значения и собственные векторы  линейного оператора  , заданного матрицей .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Собственные значения матрицы и .

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению :

       

Полагая х2 = с1, найдем (х1 = 1/2x2 = 1/2c1, x2 = c1), то есть вектор при любом есть собственный вектор оператора (матрицы А) с собственным значением .

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению :

       

Полагая х2 = с2, найдем (х1 = -2x2 = -2c2, x2 = c2), то есть вектор при любом есть собственный вектор оператора (матрицы А) с собственным значением .

Ответ: собственные значения имеют вид и , а собственные векторы - и .

 

7. а) Методом Лагранжа  привести квадратичную форму

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

Решение.

а)

Сгруппируем все члены, содержащие х1, и дополним их до полного квадрата:

Итак, невырожденное линейное преобразование y1 = х1 + 1/2x2, y2 = x2 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду .

б)

Воспользуемся критерием Сильвестра:

, ,

По критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (так как знаки не чередуются)

Ответ: а) , б) квадратичная форма не является знакоопределенной.

 

Контрольная работа №2

 

1. Точки А(-3; -2), В(0; -1) и С(2; 5) являются вершинами  треугольника АВС. Определить координаты  точки Н – основания медианы  АН треугольника АВС и составить  уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на  сторону ВС. Сделать чертеж.

Решение.

Медиана AН делит сторону BC пополам, поэтому координаты точки Н можно определить по формулам:

;   

Н(1; 2) - точка основания медианы АН треугольника АВС

Зная координаты двух точек прямой, можем записать уравнение по двум точкам:

Ответ: уравнение медианы АН .

 

2. Составить уравнение  гиперболы, фокусы которой лежат  на оси абсцисс, симметрично относительно  начала координат, если уравнение ее асимптот , а расстояние между вершинами равно 48.

Решение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Фокусы гиперболы F1(x0 + c; y0); F2(x0 - c; y0).

- уравнение асимптот

Тогда получим, если , то х0 = 0; y0 = 0; b/a = 2,4 или b = 2,4a.

Так как фокусы лежат на оси абсцисс, то F1(c; 0); F2(-c; 0).

Расстояние между вершинами равно 48, 2а = 28, а = 24

Получим, b = 2,4a = 2,4·24 = 57,6

, F1(62,4; 0); F2(-62,4; 0).

Уравнение имеет вид

Ответ: уравнение гиперболы .

 

3. Составить уравнение  диаметра окружности  , перпендикулярного к прямой 5x + 2y – 13 = 0.

Решение.

Приведем уравнение окружности к каноническому виду:

Уравнение окружности с центром в точке А(-2; 3) и радиусом .

Вычислим угловой коэффициент прямой 5x + 2y – 13 = 0:

y = -5/2x + 13/2

Следовательно, угловой коэффициент равен k = -5/2.

Поскольку диаметр окружности должен быть перпендикулярным к прямой то, по определению, их коэффициенты наклона связаны отношением (из условия перпендикулярности прямых): kокр = -1/k = 2/5.

Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку А(-2; 3) с заданным угловым коэффициентом k = 2/5, в общем случае: , где (x0; y0) - координаты заданной точки, а k - заданный угловой коэффициент наклона прямой.

y - 3 = 2/5·(x + 2)

y = 2/5x +19/5

Ответ: уравнение диаметра окружности y = 2/5x +19/5.

 

4. Написать уравнение  плоскости, проходящей через точку  М(2; -1; 4) и линию пересечения плоскостей 2x + 3y – z = 2 и х = 1.

Решение.

Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:

2x + 3y – z – 2 + λ·(x – 1) = 0

Значение λ определяем из условия, что координаты точки М удовлетворяют этому уравнению:

2·2 + 3·(-1) – 4 – 2 + λ·(2 – 1) = 0

получим, λ = 5

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

2x + 3y – z – 2 + 5·(x – 1) = 0

или 7x + 3y – z – 7 = 0

Ответ: 7x + 3y – z – 7 = 0

 

5. Верно ли, что  прямая  параллельна плоскости 2x + y – 2z = 9? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.

Решение.

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Al + Bm + Cn = 0

Так как из условия A = 2; B = 1; C = -2; l = 4; m = -2; n = 3, то получим

2·4 + 1·(-2) - 2·3 = 0

Следовательно, искомая прямая параллельная плоскости.

Определим расстояние между этими прямой и плоскостью:

,

точку (x0; y0; z0) определим из уравнения , как O(0; 0; 0).

 ед.

Ответ: расстояние составляет 3 ед.

 

 

Список используемой литературы

 

1. Высшая математика  для экономистов. Учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.

2. Высшая математика  для экономистов. Практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.

3. Высшая математика  для экономического бакалавриата. Учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2014.

4. Кремер Н.Ш., Фридман М.Н. Линейная алгебра. Учебник  и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2014.

5. Математика  для экономистов и менеджеров. Учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. –  М.: Кнорус, 2014.

6. Математика  для экономистов и менеджеров. Практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. –  М.: Кнорус, 2014.