Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

Задача №7

Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(6,1) параллельно прямой y=7x-8

Решение:

Если две прямые параллельны, то их уравнения всегда можно представить в таком виде, что они будут отличаться только свободными членами.

Из условия параллельности двух прямых следует, что .

A1/A2=B1/B2

Обозначим через t общую величину этих отношений. Тогда

t= A1/A2=B1/B2

а отсюда следует, что

A1 = A2t, B1 = B2t.     (1)

Если две прямые

A1x + B1y + C1 = 0 и

A2x + B2y + C2 = 0

параллельны, условия (1) выполняются, и, заменяя в первом из этих уравнений A1 и B1 по формулам (1), будем иметь

A2tx + B2ty + C1 = 0,

или, разделив обе части  уравнения на , получим

A2*x+B2*y+C1/t=0 (2)

Сравнивая полученное уравнение  с уравнением второй прямой A2x + B2y + C2 = 0, замечаем, что эти уравнения  отличаются только свободным членом; тем самым мы доказали требуемое. Теперь приступим к решению задачи. Уравнение искомой прямой запишем  так, что оно будет отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом: первые два слагаемые  в искомом уравнении возьмем  из данного уравнения, а его свободный  член обозначим через C. Тогда искомое  уравнение запишется в виде:

7x-y+С=0 (2)

7x-y-8=0 – данное уравнение в условии.(1)

Подставим координаты точки  A в уравнение 2:

7*6-1+С=0

С=-42+1

С=-41

Следовательно уравнение прямой,  проходящей через точку A(6,1) параллельно прямой y=7x-8

7x-y-41=0

y=7x-41

Ответ: y=7x-41.

 

Задача №8

Составить уравнение сторон треугольника:

Даны вершины:

A(1,-2), B(5,4), C(-2,0)

Решение:

Задача сводится к составлению  уравнений прямых, на которых лежат  стороны треугольника.

Эти уравнения имеют вид:

y = k1*x + b1;

y = k2*x + b2;

y = k3*x + b3.

1.Необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Подставим координаты точек  в в общее уравнение прямой:

-2 =1* k1 + b1;

4 = 5*k1 + b1.

Вычтем одно уравнение  из другого:

-6=-4*k1

k1=(-6)/(-4)=1,5.

Подставим найденный коэффициент  k1 в первое уравнение прямой:

-2=1,5+b1

b1=-3,5

Проверим, не лежит ли третья точка С на найденной прямой, для это подставим координаты точки С в найденное уравнение:

0=-2*1,5+(-3,5)

0=-3-3,5

0=-6,5 (равенство не верно)

Следовательно точка С не лежит на найденной прямой y=1,5*x-3,5

Выведем аналогичным способом уравнения для двух других сторон

 

 

2. Для прямой ВС:

4=5*k2+b2;

0=-2*k2+b2.

Вычтем одно уравнение  из другого:

4=7*k2

k2=4/7

Подставим найденный коэффициент  k2 в любое уравнение:

4=5*(4/7)+b2

b2=4-(20/7)=(28-20)/7=8/7

y=(4/7)*x+(8/7)

y=(4/7)*(x+2)

3. Для прямой AС:

-2=k3+b3

0=-2*k3+b3

Вычтем одно уравнение  из другого:

-2=3*k3

k3=-2/3

Подставим найденный коэффициент  k3 в одно из уравнений:

0=-2*(-2/3)+b3

b3=-4/3

y=(-2/3)x-4/3

y=(-2/3)*(x+2)

Ответ:

y=1,5*x-3,5

y=(4/7)*(x+2)

y=(-2/3)*(x+2)

 

Задача 9.

Найти расстояние от точки A(4-2; 1) до прямой -12x + 9y + 3 = 0.

Решение.

Для удобства присвоим точке  A название M1(х1,у1))

Расстояние d от точки M₁(x₁; y₁) до прямой Ax+By+C = 0 вычисляется по формуле:

 

 

d = 2.4.

Ответ: d = 2.4.

Задача 10.

Найти острый угол между прямыми -5x - 4y - 5 = 0 и -3x - 5y + 4 = 0

Угол φ между двумя  прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

 

По формуле находим:

 

cos φ = 0.94

φ = arccos(0.94) = 20.38

Формула определяет значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

Ответ: φ = 20.38

Задача 11.

Найти объем пирамиды с вершинами A(2.2.2) B(4.3.3) C(4.5.4) и D(5.5.6)

Нам известны координаты четырех точек.

 

A = (2,2,2) B = (4,3,3) C = (4,5,4) D = (5,5,6)

 

1. Найдем смешанное произведение векторов		,		и
	DA		DB		DC

Вы помните, что  в результате вычисления смешанного произведение трех векторов мы получим ЧИСЛО.

 

Найдем координаты векторов		,		и		.
	DA		DB		DC

 

		= ( 2 - 5 , 2 - 5 , 2 - 6 ) = ( -3 , -3 , -4 )
	DA

 

		= ( 4 - 5 , 3 - 5 , 3 - 6 ) = ( -1 , -2 , -3 )
	DB

 

		= ( 4 - 5 , 5 - 5 , 4 - 6 ) = ( -1 , 0 , -2 )
	DC

 

Найдем смешанное  произведение векторов (

x

) *

следующим образом:

DA

DB

DC

(

x

) *

=

DA

DB

DC

 

 

=		-3	-3	-4		=
		-1	-2	-3
		-1	0	-2

 

 

Из элементов  столбца 3 вычитаем соответствующие  элементы столбца 1 , умноженные на 2.

 

=		-3	-3	2		=
		-1	-2	-1
		-1	0	0

 

 

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

 

= ( - 1 )3+1 * ( -1) *   -3 2   + -2 -1

( - 1 )3+2 * 0*   -3 2   + -1 -1

( - 1 )3+3 * 0*   -3 -3   = -1 -2

 

= ( -1) *   -3 2   = -2 -1

 

= ( -1) * ( ( -3) * ( -1) - 2 * ( -2) ) =

 

= ( -1) * 7

= -7

 

2. Найдем объем треугольной пирамиды, вершинами которой являются точки A, B, C и D.

 

V = 1/6* | (		x		) *		| = 1/6 * 7 = 1.17
	DA		DB		DC

 

 

Задача 12.

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось a=5 и эксцентриситет =0,6

Решение:

Известно, что . Из этого уравнения найдем с:

с=0,6*5=3

Пользуясь отношением , найдем и

 

Простейшее уравнение  эллипса имеет вид

Подставим коэффициенты в  данное уравнение:

 

Ответ: