Комплексные числа

Оглавление

 

 

 

 

Возникновение комплексных  чисел.

 

Комплексные числа впервые возникли при вычислении корней кубических уравнений.

В XVI веке были получены формулы корней кубического уравнения. Корень кубического уравнения = px + q может быть найден по формуле x = + , где u и v – решения системы уравнений 

Оказалось ,что для некоторых кубических уравнений такая система не имеет действительных решений, хотя корень самого уравнения легко укладывается. Например, х=4 – корень уравнения   = 15x+4, а система уравнений      не имеет действительных решений.

Для разрешения возникшего противоречия итальянский математик Бомбелли в 1572г. ввёл в математику комплексные числа, в множестве которых выполнима операция извлечения квадратного корня и отрицательного числа. Но только после появления в XIIв. работ Гаусса и Бесселя использование комплексных числе стало общепринятым .

Комплексное число.

 

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (x;y), первое из которых х называется его действительной частью, а второе число у- мнимой частью.

Обозначение: z=x+iy. Символ i называется мнимой единицей.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

Каждому комплексному числу z=x+iy поставим в соответствии точку с координатами  (x;y) на координатной плоскости Оху. Это геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Перейдём от декартовых координат (x;y) к полярным координатам (r, φ ): x= Cosφ , y=r Sinφ .

Тогда z= x+yi=r Cosφ + ir Sinφ = r(Cosφ + iSin φ). Форма записи комплексного числа z= x+yi в виде z=r(Cos φ + iSinφ ) является тригонометрической формой комплексного числа.

Полярный радиус r= называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается .

Полярный угол φ, определяемый из условия tgφ = y/x, называется аргументом комплексного числа z=x+iy и обозначается Arg z.

Главное значение аргумента arg z- это аргумент комплексного числа z, удовлетворяющий условию .

 

Пример 1: Комлексное чилсо z=-1-i записать в тригонометрической форме.

Решение: Здесь x=-1 и у=-1. Тогда модуль комплексного числа равен r===

Изобразим  комплексное число z=-1-i на плоскости Oxy.

Мы видим,что комплексное число z=-1-i принадлежит третьей четверти,а tg φ =y/x= (-1)/(-1)=1. Поэтому главное значение аргумента комплексного числа z=-1-i равно .

Получаем тригонометрическую форму z= r(Cosφ + iSinφ)=)

Ответ: z= )

 

 

 

 

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть имеются два комплексных числа:

 

  

   

 

Умножение.

 

  Знаем, что z1 *z2=r1*r2cosφ1+φ2+isin(φ1+φ2) , 
тогда из этого следует ,что модуль произведения двух комплексных числе равен произведению модулей сомножителя, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей. Это правило верно и для любого числа сомножителей.( то есть при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы – складываются)

 

Пример 2:

Дано: =5 (cos 47° + i sin 47°) и  = 4 (cos 13° + i sin 13°)

Найти: *.

Решение: 5 (cos 47° + i sin 47°) • 4 (cos 13° + i sin 13°) = 20 (cos 60° + i sin 60°) =

= 20 ( 1/2 + i √3/2 ) = 10+10√3 i.

Ответ: z1*z2=20 ( 1/2 + i √3/2 ) = 10+10√3 i.

 

Деление.

 

         При выполнении деления, в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы

вычитаются:    = ,

 

Пример 3:

 

Дано: и

 

Найти: .

 

Решение:

 

 

Ответ:

 

Возведение в степень.

 

         Пусть  z= r*  . Тогда имеет место формула ,

то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент –  умножается на нее.

 

 

Формула Муавра.

 

Формула Муавра – это формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

+iSin nφ )

 

Доказательство Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера     и тождества для экспонент , где b — целое число.

Пример 4:

Дано:   z=-1-i

Найти:

Решение: Тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-i равна : z=  ) (см.пример 1)

Тогда по формуле Муавра

 *()=4()=4 (cos(6π+)+iSin(6π+ =4()= 4(

Ответ:

 

 

Список Литературы.

 

• Г.И.Просветов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения (учёбно-практическое пособие) Москва.2009г.
• Под редакцией Б.П.Демидовича. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Москва.2001г.
• Айзек Азимов. Числа от арифметики до высшей математике.ЭСКМО.Москва.2012г.