Оглавление
Возникновение комплексных
чисел.
Комплексные числа впервые
возникли при вычислении корней кубических
уравнений.
В XVI веке были получены формулы
корней кубического уравнения. Корень
кубического уравнения = px + q может быть найден
по формуле x = + , где u и v – решения системы
уравнений
Оказалось ,что для некоторых
кубических уравнений такая система не
имеет действительных решений, хотя корень
самого уравнения легко укладывается.
Например, х=4 – корень уравнения = 15x+4, а система уравнений не имеет действительных
решений.
Для разрешения возникшего
противоречия итальянский математик Бомбелли
в 1572г. ввёл в математику комплексные числа,
в множестве которых выполнима операция
извлечения квадратного корня и отрицательного
числа. Но только после появления в XIIв.
работ Гаусса и Бесселя использование
комплексных числе стало общепринятым
.
Комплексное число.
Комплексным числом z называется
упорядоченная пара действительных чисел
(x;y), первое из которых х называется его действительной
частью, а второе число у- мнимой частью.
Обозначение: z=x+iy. Символ i называется мнимой единицей.
Тригонометрическая форма комплексного
числа.
Каждому комплексному числу
z=x+iy поставим в соответствии точку с координатами
(x;y) на координатной плоскости Оху. Это геометрическая
интерпретация комплексных чисел.
Перейдём от декартовых координат
(x;y) к полярным координатам (r, φ ): x= Cosφ , y=r Sinφ .
Тогда z= x+yi=r Cosφ + ir Sinφ = r(Cosφ + iSin φ). Форма записи
комплексного числа z= x+yi в виде z=r(Cos φ + iSinφ ) является тригонометрической
формой комплексного числа.
Полярный радиус r= называется модулем
комплексного числа z=x+iy и обозначается .
Полярный угол φ, определяемый из условия tgφ = y/x, называется аргументом комплексного
числа z=x+iy и обозначается Arg z.
Главное значение аргумента
arg z- это аргумент комплексного числа z,
удовлетворяющий условию .
Пример 1:
Комлексное чилсо z=-1-i записать в тригонометрической
форме.
Решение: Здесь x=-1 и у=-1. Тогда
модуль комплексного числа равен r===
Изобразим
комплексное число z=-1-i на плоскости Oxy.
Мы видим,что
комплексное число z=-1-i принадлежит третьей
четверти,а tg φ =y/x= (-1)/(-1)=1. Поэтому главное
значение аргумента комплексного числа
z=-1-i равно .
Получаем тригонометрическую форму z=
r(Cosφ + iSinφ)=)
Ответ: z= )
Операции над комплексными числами
в тригонометрической форме.
Пусть имеются два комплексных числа:
Умножение.
Знаем, что z1 *z2=r1*r2cosφ1+φ2+isin(φ1+φ2) ,
тогда из
этого следует ,что модуль произведения
двух комплексных числе равен произведению
модулей сомножителя, а аргумент равен
сумме аргументов сомножителей. Это
правило верно и для любого числа сомножителей.(
то есть при перемножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы
– складываются)
Пример 2:
Дано: =5 (cos 47° + i sin 47°) и = 4 (cos 13° + i sin 13°)
Найти: *.
Решение: 5 (cos 47° + i sin 47°) • 4 (cos 13° + i sin 13°) = 20 (cos 60° + i sin 60°) =
= 20 ( 1/2 + i √3/2 ) = 10+10√3 i.
Ответ: z1*z2=20 ( 1/2 + i √3/2 ) = 10+10√3 i.
Деление.
При выполнении деления,
в тригонометрической форме модули делятся,
а аргументы
вычитаются: = ,
Пример 3:
Дано: и
Найти: .
Решение:
Ответ:
Возведение
в степень.
Пусть z= r*
. Тогда имеет место формула ,
то есть при возведении в степень модуль
возводится в эту степень, а аргумент – умножается
на нее.
Формула Муавра.
Формула Муавра – это формула,
содержащая правило для возведения в степень n комплексного
числа, представленного в тригонометрической
форме
+iSin nφ )
Доказательство Формула Муавра
сразу следует из формулы Эйлера и
тождества для экспонент , где b — целое число.
Пример 4:
Дано: z=-1-i
Найти:
Решение: Тригонометрическая
форма комплексного числа z=-1-i равна : z= ) (см.пример 1)
Тогда по формуле Муавра
*()=4()=4 (cos(6π+)+iSin(6π+ =4()= 4(
Ответ:
Список Литературы.
- Г.И.Просветов.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
задачи и решения (учёбно-практическое
пособие) Москва.2009г.
-
Под редакцией Б.П.Демидовича. Задачи и
упражнения по математическому анализу
для втузов. Москва.2001г.
- Айзек
Азимов. Числа от арифметики до высшей
математике.ЭСКМО.Москва.2012г.