Комплексные числа

Муниципальное общеобразовательное  учреждение «Средняя общеобразовательная  школа №8»

 

 

 

 

 

Комплексные числа

 

 

Работа ученицы 10 класса «Б»

Красновой Ксении

Преподаватель: Земскова А.Г.

 

 

 

 

 

 

Саратов 2012

1.Введение……………………………………………………………...3

2.История возникновения  комплексных чисел………………………4

3.Понятие комплексного  числа……………………………………….5

4.Алгебраические операции  над комплексными числами………….6

5.Тригонометрическая  форма  записи комплексного числа……...7-8

6.Квадратные уравнения  и комплексные числа……………………...9

7.Заключение………………………………………………………….10

8.Список литературы…………………………………………………11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Наш мир состоит из чисел. В начальной школе мы начили изучать натуральные. Постепенно мы переходили от натуральных к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным. С каждым множеством чисел можно делать определённые алгебраические операции, например, с натуральными сложение и вычитание, с целыми сложение, вычитание и умножение и т.д.. операции. Однако, существует множество чисел, которые допускают операцию извлечение корней из произвольных чисел- это комплексные числа. Их особенность состоит в том, что с ними можно выполнять все алгебраические действия.

 

NϵZϵQϵRϵC

 

Цель моей работы: расширить и углубить представление о множествах чисел и возможных действиях над ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История возникновения  комплексных чисел.

Итальянский математик Кардано  в середине 16-ого века для решения  кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел  он назвал софистическими, т.е. мудреными. Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел. Французский математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году. В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер. На рубеже 18 и 19 веков было представлено Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие комплексного числа.

Число вида a + bi, где а и  b действительные числа, а i- мнимая единица (число, квадрат которого равен -1) называют комплексными. a- называется действительной частью, а b- мнимой частью комплексного числа.

Примеры:: число 10 + 5i – называют комплексным числом.

Мнимые числа – представляют собой частный вид комплексных  чисел (когда a = 0). С другой стороны, и действительные (т.е. положительные  и отрицательные) числа, являются частным  видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число  а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).

 Примеры: Запись 6 + 0i обозначает то же, что запись 6. Запись –9 + 0i означает –9.

 Комплексное число  вида 0 + bi называется “чисто мнимым”.  Запись bi обозначает то же, что  0 + bi.

Примеры: 5i, 8i, i.

Геометрически каждое комплексное  число изображается точкой на плоскости, имеющий прямоугольные координаты x и y. Действительное число a называется абсциссой комплексного числа. Действительное число b называется ординатой комплексного числа.

Существует сопряженные  числа. Если у комплексного числа  сохранить действительную часть  и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряжённое  данному.

z = a + bi и

 

Алгебраические операции с комплексными числами.

Операции сложения, вычитания, умножения, деления комплексных  чисел удовлетворяют обычным  законам арифметических действий (сочетательный, переместительный, распределительный).

 

1.Сложение.

Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число 

(a + a') + (b + b')i.

Пример: (-4 + 5i) + (6 – 8i) = 2 - 3i

2.Вычитание.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a') + (b – b')i.

Пример: (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

3.Умножение.

Произведением комплексных  чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное  число (aa' – bb') + (ab' + ba')i.

Пример: (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2  = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

4.Деление.

Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i –  значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Пример: Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i). Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим: ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

 

 

 

 

Модуль комплексного числа и тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Модулем комплексного числа  a + bi называют число . Обозначение: =.

Пример: Найти модуль комплексного числа .

= ==29

Модуль действительного  числа совпадает с его абсолютным значением.

Теорема 1: Модуль произведения двух комплексных чисел равен  произведению модулей этих чисел.

 

Приведу ещё некоторые свойства модуля:

 

Из курса тригонометрии  известно, что число на единичной  окружности имеет координаты (;). Если не делать различия между комплексным числом и точкой координатной плоскости, то можно представить тригонометрическую форму записи комплексного числа , где - .

Пример: Записать число 3 в  тригонометрической форме:

3()= 3().

Пример: Записать число 2i в тригонометрической форме:

2()= 2()

Представлю действия умножения  и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Рассмотрим, как ведут себя аргументы при умножении и делении комплексных чисел:

Теорема 1. z₁(cos + i sin) * z₂(cos + i sin) =       

            = z₁*z₂ (cos( + ) + i sin( + )

Теорема 2.

При умножении комплексных  чисел модули перемножаются, а аргументы  складываются.

При делении комплексных  чисел модули делятся, а аргументы  вычитаются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексные числа  и квадратные уравнения.

 

Квадратное уравнение  из курса алгебры, как известно, имеет два корня при положительном дискриминанте, один корень, если дискриминант равен нулю, а если отрицательный, то нет корней. В множестве комплексных числах можно извлекать корень из отрицательного числа по формуле

= ±×i.

Пример: Найти корни квадратного уравнения z² – z – 2,5=0

Z_1,2 = ==.

 

Как обычно, у формулы  корней квадратного уравнения есть следствия:

 

1.Если z₁ и  z₂ корни квадратного уравнения, то

 z₁ +  z₂ = - , z₁ ×  z₂ =  (теорема Виета)

2. Если z₁ и  z₂ корни квадратного уравнения, то

az² + bz + c= 0= a× (z-z₁)(z-z₂)

3. Если  z₁ +  z₂ = -p , z₁ ×  z₂ = q, то z₁ и  z₂ - корни квадратного уравнения  

z² + pz + q= 0. (теорема, обратная теореме Виета)

Для того, чтобы извлечь квадратный корень из комплексного числа, нужно воспользоваться формулой:

 

=

Или воспользоваться алгоритмом извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Заключение.

 

Моя работа была направлена на расширение знаний о числах. Тема, взятая мной- ёмкая. Такие вопросы как: 

-возведение комплексного  числа в степень; извлечение  кубического корня из комплексного  числа;

-производная комплексного  числа

В данной работе ещё не освещены. Тема «комплексные числа» для меня открыта, поэтому я планирую продолжить работу, чтобы она стала кратким  пособием для тех, кто хочет больше знать о мире чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: Государственное  издательство физико–математической  литературы; Москва; 1960.

М.Я.Выгодский; Справочник по высшей математике: Государственное  издательство физико–математической  литературы; Москва; 1966.

Новый большой энциклопедический  словарь: Научное издательство «большая Российская энциклопедия»; Москва; 2007.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов; Алгебра  и начала математического анализа: издательство «Мнемозина»; Москва; 2011.

А.Н.Колмогоров; Элементы высшей математики; издательство «Просвещение»; 1988.