Комплексные числа

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УЛЬЯНОВСКИЙ ФИЛИАЛ

РЕФЕРАТ

по дисциплине: «Математика»

на тему: «Комплексные числа»

Ульяновск  2012

Содержание

1.   Введение...............................................................................................................3

2.   Понятие о комплексных числах.........................................................................4

3.   Действия с комплексными числами..................................................................7

4.   Решение уравнений с комплексным переменным............................................9

5.   Заключение.........................................................................................................11

6.   Библиографический список..............................................................................12

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют  решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего реферата - знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для  того чтобы любое уравнение х+а=в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что а=с и в=а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2  века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры  эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2=-9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения  х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у=10, ху=40 не имеющая решений в множестве    действительных чисел, имеет решение всегда х=5, у =5, нужно только условиться действовать над такими выражениями по  правилам  обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i=(мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).                               

В течении 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени  сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки  в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел.      Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1=0. Отсюда х2=-1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом i2=-1, откуда i= . Решение квадратного уравнения, например, х2 –8х+25=0, можно записать следующим образом: х=4=4=4=43=43i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а+bi, где a и b- действительные  числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z=(a+c)+(b+d)i.  Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi)+(а-bi)=2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комлексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi=c+di, если a=c, b=d.   Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z=a+bi=0, если a=0,b=0.  Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b=0, то a+bi=a - действительное число. Если а=0, b0, то a+bi=bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются   действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное  сложению: разностью двух комплексных чисел a+ bi и c+di называется комплексное число х+уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х=а-с, у=b-d. Значит, (а+bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i.

Произведение комплексных чисел  z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z = (ac-bd)+(ad+bc)i, z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.   Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как  умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a +bi)(a-bi)=a2+b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:(a+bi):(c+di) =. = = +i.

Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Действительно, i2 =-1, i3 =-i, i4 = 1, i4n = (i4)n = 1n = 1, i4n+1=i,      i4n+2 =-1,  i4n+3 =-i.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2=a, где а-заданное число, z- неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1)имеет один корень z=0, если а=0;

2)имеет два действительных корня z1,2=, если а>0;

3)не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2=a, если:

1)а=-1; 2)а=-25; 3)а=-3.

1)z2=-1. Так как i2=-1, то это уравнение можно записать в виде z2=i2, или z2-i2=0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i)=0, z1=i, z2=-i.Ответ. z1,2=i.

2) z2 =-25.  Учитывая, что i2=-1,преобразуем это уравнение: z2=(-1)25,  

z2=i252, z2-52i=0,  (z-5i)(z+5i)=0, откуда z1=5i, z2=-5i.Ответ.z 1,2=5i.

3) z2=-3, z2=i2()2, z2-()2i2=0, (z-i)(z+i)=0, z1 =i, z 2=-i. Ответ. z1,2=i.

Вообще уравнение z2=a, где а<0 имеет два комплексных корня:  Z1,2=i.

Используя равенство i2=-1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: =i, =i=2i, = i. Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2+bz+c=0, где а,b,с- действительные числа, а0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2= .

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2= = = ==23i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4- это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c=0, z1+z2= -, z1z2=.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным    корнем z1,  то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5.   Ответ z2-2z+5=0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем реферате дано понятие комплексных чисел, история  их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

В реферате также рассмотрена геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.    Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Учебник для 8 класса по алгебре.- М.:Просвещение, 1994.-С.134-139.