Автор: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2013 в 21:46, лекция
Для того чтобы задать вектор, достаточно знать:
1) длину и направление
или
2)координаты точки начала и конца
Определение равенства векторов:
® (формула для вычисления угла между векторами)
Пример 1.
Дано: ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).
Найти : угол при вершине В.
Решение:
® ={0-2; -4-(-1); 5-6}®
={-2;-3;-1};||||=
={9-0;-8-(-4);6-5}®={9;-4;1}; ||||==7.
=-2*9+(-3)*(-4)+(-1)*1=-7
||||||||==-; B=arcos(≈100089/.
Пример 2.
Дано: ||||||||
Найти: Пр(
Решение:
Пусть ® ®
В дальнейшем нам понадобится скалярное произведение:
||||*||||*=4*3*(-0,5)=-6.
Пр=||||
=-9||||2-16||||2+26=-9*16-16*
|||| ®==||||2-4||||2=16+24+36=76®||
Пр=||||=≈-50,93
Ответ : ≈-50,93
§4.Векторное произведение.
Определение правой (левой) тройки.
Рассмотрим три некомпланарных вектора, исходящих из одной точки: Если смотреть из конца вектора и поворот от первого вектора ко второму вектору против часовой стрелки будет выполняться по наименьшему углу, то говорят, что эти вектора в данном порядке образуют правую тройку. В противном случае будем иметь левую тройку.
Определение векторного произведения.
Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначают
Пусть . Тогда по определению имеем:
1)^^
2)три вектора образуют правую тройку.
3)||||||||||||*
Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
Заметим, если ^||||||||||||
Свойства векторного произведения.
!!!
Если || В частности:
2.l(ll
3.Дистрибутивность
Рассмотрим векторное произведение для орт координатных осей и результат занесём в таблицу.
× |
|||
- | |||
- |
|||
- |
Пусть вектора заданы своими координатами.
Если ; , то
x1*y2*+x1*z2*(-)+y1*x2*(-+y1*z
=(y1z2-z1y2)+(x1y2-y1x2)+(z1x2
Чтобы не запоминать эту формулу можно использовать символический определитель:
===
=(y1z2-z1y2)+(x1y2-y1x2)+(z1x2
Пример 1.
Дано: ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).
Найти S ∆ABC(площадь треугольника)
Решение:
® ={9;-4;1}; ={-2;-3;-1}
S∆ABC=1/2|||| =
==7+7-35®
||||==21® S∆ABC=
Ответ: кв.ед.
Пример 2.
Дано: ; 2; ||||||||=1500.
Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах
Решение:
Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
=×(2)=6(=12(
||||||||=12||||||||0=12*4*3*0,
Ответ: 72кв.ед.
Пример3.
Дано: ; .
1)Построить ортонормированный базис.
2) Разложить вектор в этом базисе.
Решение:
1)^«® -2*+(-4)*2+1*(-3)=0« -2*=11« *=-5,5
-2;-4;1}; ||||
-11;2;-3}; ||||
^ ^®
®
=10-17-48; |||
(- ортогональный базис. Для нахождения ортонормированного базиса найдём соответствующие орты.
{-2;-4;1}=
={-11;2;-3}=
={10;-17;-48}=
2); - разложение вектора в ортонормированном базисе.
В естественном базисе координаты данного вектора: 2;-5;0}
Для нахождения координат вектора в ортонормированном базисе используем формулы:
х=(-2*2+(-5)*(-4)+0)=
y= =(-11*2+2*(-5)+0)=-
z=(10*2+(-17)*(-5)+0)=
Ответ:
§5 Смешанное произведение.
Пусть дана тройка векторов ;.
Если сначала найти векторное произведение , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то мы получим число, которое обозначают ( и называют смешанным произведением векторов
Определение: Смешанным произведением векторов называется число полученное по правилу:
(=(
Свойства смешанного произведения.
1.Смешанное произведение
(
||=V
; ; x3+y3+z3.
=(y1z2-z1y2)+(x1y2-y1x2)+(z1x2
((y1z2-z1y2)x3 +(x1y2-y1x2)y3 +(z1x2-x1z2)z3=
Пример:
Дан тетраэдр, вершинами которого являются точки А(1;-1;2); В(2;1;2);С(1;1;4); D(6;-3;8).
Найти объём тетраэдра и длину высоты H, опущенной из вершины D на грань АВС.
Решение:
V(тетраэдра)=V(
Найдём смешанное произведение векторов:
={1;2;0}; ={0;2;2}; ={5;-2;6}®
(==12+20+4=36®V(
V(тетраэдра)=6куб.ед.
H=||||; где площадь основания параллелепипеда равна:
||||
= =4-2+2® ||||==2®
H==3
Ответ:V=6куб.ед; H=3
Лекция 2. (для тех, кто хочет знать больше)
§6.Понятие об «n» мерном пространстве Rn.
П01 Определение:
Обозначим Rn множество, элементы которого (векторы), заданы в виде:
=(a1;a2;…;an)Т aiÎR; i=1;2;…;n
В эом множестве введён нулевой элемент:
=(0;0;…;0)
В этом множестве введены линейные операции.
1)Сложение:
Для любых векторов =(a1;a2;…;an)Т и =(b1;b2;…;bn)T ;ÎRn однозначно определён вектор, называемый суммой векторов, по следующему правилу:
(a1+b1;a2+b2;…;an+bn)T
2)Умножение вектора на скаляр.
Для любого вектора (ÎRn) и числа lÎR однозначно определён вектор, обозначаемый l, по правилу:
l=(la1;la2;…;lan)T
Свойства сложения.
Для любых векторов
2)Свойство ассоциативности:
Для любых векторов
3)Свойство нулевого вектора:
для любого
4)Существование
для любого существует противоположный вектор, который обозначают -:
5)Свойство обратимости:
Для любых векторов существует вектор : .
Вектор и обозначается:
(
Свойства умножения вектора на скаляр.
1) l*(*l
2) l(ll
3) 1
4) -1
5) 0
Пространство Rn в этом случае называют линейным пространством, а его элементы векторами.
П02. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
Определение:
Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа: l1; l2;…;ln (не все равные нулю):
l1+l2+…+ln=l= (линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа li равны нулю).
Если l= тогда и только тогда, когда все числа li=0, i=1,2,…,n, то система векторов называется линейно независимой.
Критерий линейной независимости.
;;…;
Рассмотрим матрицу , составленную из координат этих векторов:
A=
По определению линейной независимости можно составить матричное уравнение:
Am×n*Ln×1=Om×1; где L=lll- это однородная система, которая имеет единственное нулевое решение , если ранг матрицы А равен числу неизвестных, т.е. r(A)=n.
Система векторов ;;…;
линейно независима « r(A)=n
Замечание:
Если m=n, то однородная система имеет единственное нулевое решение по теореме Крамера, если det A≠0.
Пример 1.
Даны три вектора ÎR4.
Определить лнейную зависимость или независимость векторов.
=; =; =.
Составим матрицу координат и определим её ранг, приведя её к ступенчатому виду.
А=~ ~
r(A)=2; n=3®r(A)≠n®система имеет ненулевые решения, т. е. система векторов линейно зависима
Пример 2.
Такой пример будет в тесте!
. Даны три вектора ÎR3 .
Определить лнейную зависимость или независимость векторов.
=; =; .
определитель матрицы координат:
=0+4+15-(0-20+1)=38≠0® система векторов линейно независима.
П04.Базис в пространстве Rn. Разложение вектора в этом базисе.
Определение:
Размерность линейного векторного пространства обозначается
dim Rn. (Размерность равна «n», что определяет число координат в задании вектора).
Определение:
Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) dim Rn=n
Предложение:
Любой вектор ÎRn однозначно может быть разложен в этом базисе, т.е. представляется линейной комбинацией базисных векторов:
Числа x1;x2;…;xn называют координатами вектора в этом базисе.
Для нахождения координат вектора в заданном базисе необходимо решить систему:
Пример 3.
Используя результат примера 2, разложить вектор в этом базисе.
=
(проверьте
все координаты базисных
Составим расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду.
=~~
r(=r(A)=3; n=3®система имеет единственное решение.
Восстановим систему по ступенчатой матрице.
«
:
=1*-2*
П04. Скалярное произведение в пространстве Rn.
Определение:
Скалярным произведением векторов =(a1;a2;…;an)Т и =(b1;b2;…;bn)T ;ÎRn называется число, полученное по формуле:
(=a1*b1+a2*b2+…+anbn
Свойства скалярного произведения.
Длина вектора определяется по формуле:
||||=
Замечание.
Линейное пространство называется евклидовым, если введено скалярное произведение. Таким образом, пространство Rn является евклидовым «n» мерным векторным пространством.
Неравенство Коши-Буняковского.
Модуль скалярного произведения двух векторов не превышает произведения их длин.
|(|||||||||
Следствие:
||||||||||≤ 1
|||||||| =®
Ещё одна формула для вычисления скалярного произведения, которой мы уже раньше пользовались:
(||||||||
Определение:
Будем говорить, что два вектора и ортогональны, и записывать ^ тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.