Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2011 в 21:04, реферат
Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x ,
где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .
Элементарные функции
и их графики
1.Прямая пропорциональность. 2.Линейная функция.
3.Обратная пропорциональность. 4.Гипербола.
5.Квадратичная функция 6.. Квадратная парабола.
7.Степенная функция.8. Показательная функция.
9.Логарифмическая функция. 10.Тригонометрические функции.
11.Обратные тригонометрические функции.
| 1. | Пропорциональные
величины. Если переменные y и
x прямо пропорциональны, то функциональная
зависимость между ними выражается уравнением:
y
= k x ,
где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 . |
| 2. | Линейная
функция. Если переменные y и
x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C ,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
|
| 3. | Обратная
пропорциональность.
Если переменные y и x обратно
пропорциональны, то функциональная
зависимость между ними выражается уравнением:
y
= k / x ,
где k - постоянная величина. График обратной
пропорциональности – гипербола
( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы
получаются при пересечении кругового
конуса плоскостью ( о конических сечениях
см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»
). Как показано на рис.10, произведение
координат точек гиперболы есть величина
постоянная, в нашем примере равная 1. В
общем случае эта величина равна k,
что следует из уравнения гиперболы:
xy = k. Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; - функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? ); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет. |
| 4. | Квадратичная
функция. Это функция:
y = ax 2 + bx + c, где
a, b, c - постоянные, a
0. В простейшем случае имеем: b
= c = 0 и y = ax
2. График этой функции
квадратная парабола -
кривая, проходящая через начало координат (
рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии
OY, которая называется осью параболы.
Точка O пересечения параболы с её
осью называется вершиной
параболы. Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12. |
Изобразите, пожалуйста,
квадратную параболу для случая a
> 0, D > 0 .
Основные характеристики и свойства квадратной параболы:
- область определения функции: - < x < + ( т.e. x R ), а область
значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );
- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,
и непериодическая;
- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .
| 5. | Степенная
функция. Это функция: y =
axn, где a , n – постоянные.
При n = 1 получаем прямую
пропорциональность: y
= ax; при n = 2 - квадратную
параболу; при n = -1 - обратную
пропорциональность
или гиперболу.
Таким образом, эти функции - частные случаи
степенной функции. Мы знаем, что нулевая
степень любого числа, отличного от нуля,
равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная
функция превращается в постоянную величину:
y = a, т.e. её график - прямая линия,
параллельная оси Х, исключая начало
координат ( поясните, пожалуйста, почему
? ). Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны
на рис.13 ( n
0 ) и рис.14 ( n
< 0 ). Отрицательные значения x
здесь не рассматриваются, так как тогда
некоторые функции: На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю. |
| 6. | Показательная
функция. Функция y = ax,
где a - положительное постоянное число,
называется показательной
функцией. Аргумент x принимает
любые действительные
значения; в качестве значений функции
рассматриваются только
положительные числа, так как иначе
мы имеем многозначную функцию. Так, функция
y = 81x имеет при x = 1/4 четыре
различных значения: y = 3, y = -3,
y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста
!). Но мы рассматриваем в качестве значения
функции только y = 3. Графики показательной
функции для a = 2 и a = 1/2 представлены
на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1
). При a = 1 мы имеем график прямой линии,
параллельной оси Х, т.e. функция превращается
в постоянную величину, равную 1. При
a > 1 показательная функция возрастает,
a при 0 < a < 1 – убывает.
- область определения функции: - < x < + ( т.e. x R ); область значений: y > 0 ; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная,
всюду непрерывная, - нулей функция не имеет. |
| 7. | Логарифмическая
функция. Функция y = log a
x, где a – постоянное положительное
число, не равное 1, называется логарифмической.
Эта функция является обратной к показательной
функции; её график ( рис.18 ) может быть
получен поворотом графика показательной
функции вокруг биссектрисы 1-го координатного
угла.
Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0, а область значений: - < y < + ( т.e. y R ); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная,
всюду непрерывная, - у функции есть один ноль: x = 1. |
| 8. | Тригонометрические
функции. При построении тригонометрических
функций мы используем радианную меру
измерения углов.
Тогда функция y = sin x представляется
графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется
синусоидой.
График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2. Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: - < x < + ; область значений: -1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 ); - функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел «Тригонометрические
уравнения» ). Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22
Из графиков
видно, что эти функции: неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности ( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область определения
и область значений этих
|
| 9. | Обратные
тригонометрические
функции. Определения обратных
тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного
угла. |
Функции y = Arcsin x ( рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не
рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.
Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:
- у обеих функций
одна и та же область
их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;
- функции ограниченные,
непериодические, непрерывные
( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );
- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и
x = 1 у функции y = arccos x).
Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.
Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:
- у обеих функций
одна и та же область
их области значений: - /2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;
- функции ограниченные,
непериодические, непрерывные
( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );
- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );
функция y
= arccot x нулей не имеет.