Элементарные функции и их графики

Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2011 в 21:04, реферат

Краткое описание

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x ,
где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .

Файлы: 1 файл

Элементарные функции и их графики.docx

— 122.29 Кб (Скачать)

  Элементарные функции  и их графики  

1.Прямая пропорциональность. 2.Линейная функция.

3.Обратная пропорциональность. 4.Гипербола.

5.Квадратичная функция 6.. Квадратная парабола.

7.Степенная функция.8. Показательная функция.

9.Логарифмическая функция. 10.Тригонометрические функции.

11.Обратные тригонометрические функции. 

   

1.  Пропорциональные величины. Если переменные  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:             

    y  = k x ,                                                 

     

где  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью угол , тангенс которого равен  k : tan = ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .

2. Линейная  функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени: 

 

A x + B y = C ,                          

 

где по крайней  мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9. 

 

3. Обратная  пропорциональность. Если переменные   и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   

    y = k / x ,                                                 

     

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k. 

 

Основные характеристики и свойства гиперболы:       

- область определения  функции:  x 0,  область значений:  y 0 ; 

- функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не   

монотонная в  целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? ); 

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; 

- нулей функция не имеет.

4. Квадратичная  функция. Это функция:  y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c - постоянные,  a 0. В простейшем случае имеем:  b = c = 0  и   y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. 

 
График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат  полностью зависит от двух параметров: коэффициента  при  x2 и дискриминанта D: D = b24ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

  

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая  a > 0, D > 0 .  

Основные характеристики и свойства квадратной параболы: 

- область определения  функции: - < x < +  ( т.e.  x R ), а область    

 значений:( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! ); 

- функция в  целом не монотонна, но справа  или слева от вершины   

   ведёт себя, как монотонная; 

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при  b = c = 0,  

  и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при  D 0 ? ) . 

 

5. Степенная функция. Это функция:  y = axn, где  a , n – постоянные. При  n = 1 получаем прямую пропорциональностьy = ax; при  n = 2 - квадратную параболу; при  n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при  n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения  x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции: 
 

 

 
Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.

 
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция  . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак  ±  перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей:  верхнюю или нижнюю.

6. Показательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3,  y = 3 и  y = -3 (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.

 
Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения  функции: - < x < +  ( т.e. x R );  

 область значений:  y > 0 ;  

- функция монотонна:  возрастает при  a > 1 и убывает при  0 < a < 1;  

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;   

- нулей функция не имеет.

7. Логарифмическая функция. Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. 

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения  функции: x > 0, а область значений: - < y < +    

( т.e.  y R );    

- это монотонная  функция: она возрастает при  a > 1 и убывает при 0 <   a < 1;   

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;   

  - у функции есть один ноль:  x = 1.

8. Тригонометрические  функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.  

 

График  функции  y = cos представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на /2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: - < x < + ; область значений:  -1   y +1;    

- эти функции  периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные  ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но    

 имеющие так  называемые интервалы монотонности, внутри которых они     

 ведут себя, как монотонные функции ( см. графики  рис.19 и рис.20 );

- функции имеют  бесчисленное множество нулей  ( подробнее см. раздел   

 «Тригонометрические  уравнения» ).  

Графики функций  y = tan и  y = cot показаны соответственно на рис.21 и рис.22

     

      

 Из графиков  видно, что эти функции: периодические  ( их период  ),     

 неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности      

( какие? ), разрывные  ( какие точки разрыва имеют  эти функции? ). Область            

 определения  и область значений этих функций: 

9. Обратные  тригонометрические функции. Определения обратных   

тригонометрических  функций и их основные свойства приведены в  

одноимённом разделе  в главе «Тригонометрия». Поэтому  здесь мы ограничимся 

лишь короткими  комметариями, касающимися их графиков, полученных   

поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го  

координатного угла. 

 

  

Функции  y = Arcsin x ( рис.23 ) и  y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно:  -1   x +1  и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:  y = arcsin x  и   y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.  

 

Функции  y = arcsin и  y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций  одна и та же область определения:  -1   x +1 ;  

 их области  значений:  - /2   y /2  для  y = arcsin x  и  0   y для  y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и  монотонные 

  ( y = arcsin x – возрастающая функция;  y = arccos x – убывающая );

- каждая функция  имеет по одному нулю ( x = 0  у функции  y = arcsin x и   

 x = 1  у функции  y = arccos x).

  

Функции  y = Arctan x ( рис.25 ) и  y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения  y = arctan x  и  y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.  

 

Функции  y = arctan x и  y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций  одна и та же область определения:  - x +

 их области  значений:  - /2 < y < /2  для  y = arctan и  0 < y <   для  y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и  монотонные 

( y = arctan x – возрастающая функция;  y = arccot x – убывающая );

- только функция  y = arctan имеет единственный ноль ( x = 0 );  

 функция  y = arccot x нулей не имеет. 

Информация о работе Элементарные функции и их графики