Интервальная оценка

Интервальные оценки

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной, то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки параметра , используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра , т.е. . Такой интервал называется доверительным, а вероятность – доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Обычно надежность оценки задается заранее величиной, близкой к единице, например: 0,9, 0,95, 0,99 или 0,999.

Границы доверительного интервала и его длина находятся по выборочным данным и поэтому являются случайными величинами. Длина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается с ростом доверительной вероятности .

Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещенной точечной оценки , т.е. выбирается интервал вида . Число при этом называется точностью оценки.

Так, например, интервальная оценка (доверительный интервал) для генеральной средней исследуемого признака , имеющего нормальное распределение, может быть найдена по формуле:

              .              (19)

В случае, когда генеральная дисперсия известна (например, это заранее заданная ошибка измерительного прибора), то точность оценки находится по формуле:

              ,              (20)

где – объем выборки, а число определяется из равенства , т.е. по таблице значений функции Лапласа находится значение аргумента , которому соответствует значение функции , равное .

В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия , то точность оценки находится по формуле:

              ,              (21)

где значение числа определяется по таблице критических точек распределения Стьюдента при доверительной вероятности и числе степеней свободы .

Замечание. Если выборка объема представляет собой набор независимых одинаково распределенных случайных величин, то, согласно центральной предельной теореме, распределение при больших близко к стандартному нормальному. Это позволяет строить доверительный интервал для генеральной средней по формулам (19) и (20) при любом распределении признака, если объем выборки является достаточно большим (), при этом в качестве используется ее любая оценка.

Интервальное оценивание

Мы рассмотрели оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины Х по данным выборки. Получаемые при этом точечные оценки гi не совпадают (за исключение редких случаев) с истинным значением неизвестных параметров аi. Следовательно, всегда имеется некоторая погрешность при замене неизвестного параметра его оценкой, т.е. |г - а|<:

(1.1)

И если эта вероятность близка к единице, т.е. если,то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на, равен . Причем большие про абсолютной величине ошибки появляются с вероятностью , >0.

Чем меньше для данного >0 будет >0, тем точнее оценка г. Из соотношения (1.1) видно, что вероятность тог, что интервал г - ; г+ со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна 1 - . Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью а = 1 - накрывает неизвестный параметр а, называемый доверительным интервалом для параметра а, соответствующим доверительной вероятности а = 1 - .

Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительным пределами.

Заданному а = 1 - соответствует неединственный доверительный интервал. Доверительные интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более тог, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности а = 1 - .

Рассмотрим общие принципы построения доверительных интервалов. Предположим, что доверительный интервал находим для некоторого параметра а совокупности и в качестве точечной оценки этого параметра возьмем выборочную несмещенную М(г) = а и эффективную оценку г = г(Х1; Х2;… Хn), имеющую среднее квадратическое отклонение г.

Если бы закон распределения оценки г был известен, то для нахождения доверительного интервала нужно было бы найти такое значение , для которого . Но закон распределения оценки г зависит от закона распределения случайной величины Х и, следовательно, от его неизвестного параметра а. Для того чтобы не применять закон распределения случайной величины Х, поступают следующим образом.

Так как мы считаем значение выборки х1, х2, х3,…,хn, имеющими те же законы распределения, что и исследуемая случайная величина Х, то, согласно центральной предельной теореме (теоретическое выборочное распределение средних при большом n может быт хорошо аппроксимировано соответствующим нормальным распределением параметрами М() = М() и , большинство числовых характеристик выборки имеют нормальное или близкое значение к нормальному выборочное распределение.

Поэтому с помощью вероятностей, которые находим из таблиц нормального распределения, где , для заданного можно найти такое интервал г - ; г+ , в котором лежит значение г, вычисленное по данной выборке можно решить и обратную задачу: по данной вероятности найти значение

, такое что .

Неравенства а - ? г ?а + эквивалентны неравенствам г - ? а ? г + (вычтем г - из каждой части и умножим на -1). Тем самым указаны методы построения доверительных интервалов г - ; г + для параметра а.

Таким образом, при построении доверительных интервалов составляется случайная величина Y (например, , связанная с неизвестным параметром а, его оценкой и имеющая известную плотность распределения вероятностей p(y). Используя эту плотность, определим доверительный интервал по формуле .

В качестве доверительно вероятности (иначе - уровня доверия) обычно полагают

а =0,95 (0,99). Это значит, что при извлечении n выборок из одной и той же генеральной совокупности доверительный интервал примерно в 95% (99%) случаев будет накрывать неизвестный параметр (относительно неизвестного параметра вероятные события не допускаются). При увеличении же доверительной вероятности строится более широкий доверительный интервал, который малопригоден для практики. Еще раз подчеркнем, что чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.

Отметим, что для точного нахождения доверительных интервалов необходимо знать закон распределения случайной величины Х, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Список использованной литературы:

1. Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».

2. Хеннекен П.А. «Теория вероятности»

3. Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

Перевод

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

для неизвестного истинного значения скалярного параметра вероятностного распределения - интервал, принадлежащий множеству допустимых значений параметра, границы к-рого суть функции от результатов наблюдений, подчиняющихся данному распределению. Пусть X- случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве  G - интервал на действительной прямой, причем истинное значение параметра 0 неизвестно. Интервал границы к-рого являются функциями от подлежащего наблюдению значения случайной величины X, наз. И. о., или доверительным интервалом для 6, число

наз. коэффициентом доверия этого доверительного интервала, а величины а 1 (Х)и а 2 (Х)- нижним и верхним доверительными пределами соответственно. Понятие И. о. распространяется на более общий случай, когда требуется оценить нек-рую функцию или только одно ее значение, зависящую от параметра в.

Пусть на множестве задано семейство функций

и пусть по реализации случайного вектора Х=(X1., ..., Х п), принимающего значения в выборочном пространстве  требуется оценить функцию и(q, Х), отвечающую неизвестному истинному значению параметра q. Каждому  в U отвечает множество B(t), являющееся образом множества Q при отображении  По определению, множество  называется доверительным множеством для значения u(q, t)функции u(q, Х) в точке t, имеющим доверительную вероятность. и коэффициент доверия

Совокупность всех доверительных множеств С( Х, t )образует в U доверительную зону С(X)для функции u(q, Х) :имеющую доверительную вероятность

и коэффициент доверия

Множества типа С( Х, t )и С(X). наз. И. о. для одного значения u(q, t)функции  в точке tи самой функции соответственно.

Существует несколько подходов к построению И. о для неизвестных параметров распределений. Наиболее распространенными являются бейесовский подход, основанный на теореме Бейеса, метод Фишера, связанный с введением фидуциалъных распределений (о метод Фишера см. [3] - [5]), Неймана метод доверительных интервалов([5], [8], [9]) и метод, предложенный Л. Н. Большевым [6].