Интегралы

Определенный  интеграл. Формула  Ньютона-Лейбница.

     Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

 где 

       Свойства определенного  интеграла 

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

где k - константа;

Если 

для всех , то .

Если 

в интервале [a, b], то   
 
 

     Формула Ньютона-Лейбница

     Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

  Площадь криволинейной трапеции

     Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя  вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

                      Рис.1                                                                          Рис.2

     Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

     Замена  переменной в определенном интеграле 

     Определенный  интеграл  по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

  Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).

     Интегрирование  по частям для определенного  интеграла 

     В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

     Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Применяя формулу  Ньютона-Лейбница, получаем

     Пример 2

Вычислить интеграл .

Решение.

    Пример 3

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы  интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

      

       Пример 4

Вычислить интеграл .

Решение.

Запишем интеграл в  виде

Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен 

       Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

Решение.

Сначала определим  точки пересечения двух кривых (рисунок 3).

Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна 

         

Рис.3                                                                                   Рис.4

  Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций  и .

Решение.

Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).

Данная область  ограничивается сверху параболой  , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна       

       Пример 7

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Решение.

Найдем сначала  уравнение стороны ОА (рисунок 5).

Аналогично, получим  уравнение стороны ОВ.

Наконец, найдем уравнение  третьей стороны АВ.

Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме  двух интегралов:

         

Рис.5                                                                                    Рис.6 

  Пример 8

Вычислить площадь  эллипса  .

Решение.

В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна

     Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и . Если x = a, то sin t = 1, . Таким образом, мы получаем

 Следовательно,  полная площадь эллипса равна  πab.