|
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
|
|
|
|
Прямая
линия - график линейной функции y = ax
+ b. Функция y монотонно возрастает при
a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая
линия проходит через начало координат
т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) |
|
|
Парабола - график
функции квадратного трёхчлена у =
ах2 + bх
+ с. Имеет вертикальную ось симметрии.
Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 -
максимум. Точки пересечения (если они
есть) с осью абсцисс - корни соответствующего
квадратного уравнения ax2 +
bx +с =0 |
|
|
Гипербола - график
функции
. При а > О расположена в I и III четвертях,
при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат.
Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у
- - х(а < 0). |
|
|
Экспонента (показательная
функция по основанию е) у =
еx. (Другое написание у =
ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс. |
|
|
Логарифмическая
функция y = logax (a > 0) |
|
|
у = sinx.
Синусоида - периодическая функция с
периодом Т = 2π |
|
|
у =
а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний.
Обозначения: а - амплитуда, ω - частота
(ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг). |
|
|
Косинусоида
у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты
по оси х на
) |
|
|
Тангенсоида y = tgx.
Точки разрыва при х =
(2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты
в этих точках. |
|
|
Гауссиана
у = Аe-(ax2). Кривая "нормального"
закона распределения ошибок, у которого
,
,
σ 2 - дисперсия
ошибки. Симметрия относительно оси у. |
|
|
у = secx - кривая "цепной
линии", эту форму принимает абсолютно
гибкая нить, подвешенная в параллельном
поле тяжести. А полная функция периодична,
и её асимптоты х =
(2k -1), как у функции y = tgx. |
|
|
Круг с центром в
точке (xo, yo)
радиуса r. (x-xo)2 +
(y-yo)2 = r2 |
|
|
Эллипсс центром
в точке (xo, yo).
Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет
,
|
|
|
Затухающее
колебание y = Ae-ax•sin(ωx+φ) |
|
Элементарные
функции и их графики
| 1. |
Пропорциональные
величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то
функциональная зависимость между ними
выражается уравнением:
где k - постоянная
величина ( коэффициент
пропорциональности ).
График прямой пропорциональности – прямая
линия, проходящая через начало координат иобразующая
с осью X угол
, тангенс которого равен k : tan
= k ( рис.8 ). Поэтому,коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом.
На рис.8 показаны три графика для k =
1/3, k = 1 и k = -3 .
|
| 2. |
Линейная
функция. Если переменные y и x связаны
уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C ,
где по крайней мере
одно из чисел A или B не равно нулю, то
графиком этой функциональной зависимости
является прямая линия. Если C = 0,
то она проходит через начало координат,
в противном случае - нет. Графики линейных функций
для различных комбинаций A, B, C показаны
на рис.9.
|
| 3. |
Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, тофункциональная
зависимость между ними выражается уравнением:
где k - постоянная
величина.
График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две
ветви.Гиперболы получаются при пересечении
кругового конуса плоскостью ( о конических
сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ).
Как показано на рис.10, произведение координат
точек гиперболы есть величина постоянная, в
нашем примере равная 1. Вобщем случае эта
величина равна k, что следует из уравнения
гиперболы: xy = k.
Основные характеристики
и свойства гиперболы:
- область определения
функции: x
0, область значений: y
0 ;
- функция монотонная
( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но
не
монотонная в целом
из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте,
почему ? );
- функция неограниченная, разрывная
в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
- нулей функция
не имеет. |
| 4. |
Квадратичная
функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c,
где a, b, c - постоянные, a
0.
В простейшем случае имеем: b = c = 0
и y = ax 2. График этой функции квадратная
парабола -кривая, проходящая через
начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола
имеет ось симметрииOY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения
параболы с её осью называетсявершиной параболы.
График функции y = ax 2 + bx + c -
тоже квадратная парабола того же вида,
что и y = ax 2, ноеё вершина лежит не в
начале координат, а в точке с координатами:
Форма и расположение
квадратной параболы в системе координат
полностью зависит от двух параметров:
коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти
свойства следуют из анализа корней квадратного
уравнения (см. соответствующий раздел
в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи
для квадратной параболы показаны на рис.12. |
Изобразите, пожалуйста,
квадратную параболу для случая a >
0, D > 0 .
Основные характеристики
и свойства квадратной параболы:
- область определения
функции: -
< x < +
(
т.e. x
R ), а область
значений: … (
ответьте, пожалуйста , на этот вопрос
сами ! );
- функция в целом
не монотонна, но справа или
слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная,
всюду непрерывная, чётная при b = c =
0,
и непериодическая;
- при D < 0 не имеет
нулей. ( А что при D
0 ? ) .
| 5. |
Степенная
функция. Это функция: y = axn, где a , n – постоянные.
При n = 1 получаемпрямую
пропорциональность: y = ax; при n =
2 - квадратную параболу; при n = -1 -обратную
пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаистепенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна1, cледовательно, при n =
0 степенная функция превращается в постоянную
величину: y = a,т.e. её график - прямая
линия, параллельная оси Х, исключая
начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все
эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n
0 ) и рис.14 ( n < 0
). Отрицательные значения x здесь не
рассматриваются, так как тогда некоторые
функции:
Если n – целые,
степенные функции имеют смысл и при x <
0, но их графики имеют различный вид в
зависимости от того, является ли n чётным
числом или нечётным. На рис.15 показаны
две такие степенные функции: для n =
2 и n = 3.
При n = 2 функция
чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n =
3 функция нечётная и её график симметричен
относительно начала координат. Функция y = x3 называется кубической
параболой.
На рис.16 представлена функция
. Эта функция является обратной к квадратной
параболе y = x 2, её график получается
поворотом графика квадратной параболы
вокруг биссектрисы 1-го координатного
угла. Это
способ получения графика любой обратной
функции из графика её исходной функции.
Мы видим по графику, что это двузначная
функция ( об этом говорит и знак ±
перед квадратным корнем ). Такие функции
не изучаются вэлементарной математике,
поэтому в качестве функции мы рассматриваем
обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю. |
| 6. |
Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное
постоянное число,называется показательной
функцией. Аргумент x принимает любые действительные
значения; в качестве значений функции
рассматриваются только
положительные числа, так как иначе
мы имеем многозначную функцию. Так, функция y =
81x имеет при x = 1/4 четыре различных
значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста !). Но
мы рассматриваем в качестве значения
функции только y = 3. Графики показательной
функции для a = 2 и a = 1/2 представлены
на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы
имеем график прямой линии, параллельной оси Х,
т.e. функция превращается в постоянную
величину, равную 1. При a > 1 показательная
функция возрастает, a при 0
< a < 1 – убывает.
Основные характеристики
и свойства показательной функции:
- область определения
функции: -
< x < +
( т.e. x
R );
область значений: y >
0 ;
- функция монотонна:
возрастает при a > 1 и убывает при
0 < a < 1;
- функция неограниченная,
всюду непрерывная, непериодическая;
- нулей функция
не имеет.
|
| 7. |
Логарифмическая
функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное
число,не равное 1, называется логарифмической.
Эта функция является обратной к показательной
функции; её график ( рис.18 ) может быть
получен поворотом графика показательной
функции вокруг биссектрисы 1-го координатного
угла.
Основные характеристики
и свойства логарифмической функции:
- область определения
функции: x > 0, а область значений: -
< y < +
( т.e. y
R );
- это монотонная
функция: она возрастает при a >
1 и убывает при 0 < a < 1;
- функция неограниченная,
всюду непрерывная, непериодическая;
- у функции есть
один ноль: x = 1. |
| 8. |
Тригонометрические
функции. При построении тригонометрических
функций мы используемрадианную меру измерения
углов. Тогда функция y = sin x представляется
графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.
График функции y = cos x представлен
на рис.20; это также синусоида, полученная
в результате перемещения графика y = sin x вдоль
оси Х влево на
/2.
Из этих графиков
очевидны характеристики и свойства
этих функций:
- область определения: -
< x < +
; область значений: -1
y
+1;
- эти функции
периодические: их период 2
;
- функции ограниченные ( | y |
1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но
имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они
ведут себя, как
монотонные функции ( см. графики
рис.19 и рис.20 );
- функции имеют
бесчисленное множество нулей
( подробнее см. раздел
«Тригонометрические
уравнения» ).
Графики функций y = tan x
и y = cot x показаны соответственно
на рис.21 и рис.22
Из графиков видно,
что эти функции: периодические ( их
период
),
неограниченные, в
целом не монотонные, но имеют интервалы
монотонности
( какие? ), разрывные ( какие
точки разрыва имеют эти функции? ). Область
определения и область
значений этих функций:
|
| 9. |
Обратные
тригонометрические
функции. Определения обратных
тригонометрических
функций и их основные свойства приведены
в
одноимённом разделе в
главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся
лишь короткими комметариями,
касающимися их графиков, полученных
поворотом графиков тригонометрических
функций вокруг биссектрисы 1-го
координатного угла.
|
Функции y = Arcsin x (
рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их
область определения и область значений
соответственно: -1
x
+1 и -
< y < +
. Поскольку эти функции
многозначные, не
рассматриваемые в элементарной математике,
в качестве обратных тригонометрическихфункций рассматриваются их
главные значения: y = arcsin x и y = arccos x;
их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными
линиями.
Функции y = arcsin x
и y = arccos x обладают следующими характеристиками
и свойствами:
- у обеих функций
одна и та же область определения: -1
x
+1 ;
их области значений: -
/2
y
/2 для y = arcsin x и
0
y
для y = arccos x;
- функции ограниченные,
непериодические, непрерывные и
монотонные
( y = arcsin x – возрастающая
функция; y = arccos x – убывающая );
- каждая функция
имеет по одному нулю ( x = 0 у
функции y = arcsin x и
x = 1 у функции y = arccos x).
Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные,
неограниченные функции; их область определения: -
x
+
. Их главные значения y = arctan x и y = arccot xрассматриваются
в качестве обратных тригонометрических
функций; их графики выделены на рис.25
и рис.26 жирными ветвями.
Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики
и свойства:
- у обеих функций
одна и та же область определения: -
x
+
;
их области значений: -
/2 < y <
/2 для y = arctan x и 0
< y <
для y = arccos x;
- функции ограниченные,
непериодические, непрерывные и
монотонные
( y = arctan x – возрастающая
функция; y = arccot x – убывающая );
- только функция y = arctan x имеет
единственный ноль ( x = 0 );
функция y = arccot x нулей
не имеет.