Функции

1. Функция.  Классы функций.

Функция – одно из основн. понятий  мат анализа. Впервые ввел Лейбниц, обобщили Эйлер, Фурье, Коши и Лобачевский.

Опр. всякое мн-во f={(x,y)} упорядоч. пар (x,y), xÎX, yÎY,  такое что для любых (x’,y’)Îf и (x’’,y’’)Îf из условия y’¹y’’ следует x’¹x’’, назыв. функцией. x – аргумент, y – зависимая перемен. Df=X – обл. определения. Ef=Y – область значений. f={(x,y)} – мн-во упоряд пар наз-ся график ф-ии. Опр. Сов-ть всевозм-ых упоряд-ых пар (y,f^-1(y)) – наз. обрат. ф-ией. Опр. Если AÎX, то f: H à Y порождает ф-ию, ставящую любому xÎA в соотв-ие элемент f(x). Тогда эту ф-ию наз-ют сужением ф-ии f на мн-во A. Опр. Если f: HàY и g: YàZ, то F:XàZ определенная для любого xÎH равенством F(x)=g(f(x)) наз-ют сложной ф-ией. Способы задания 1.Аналитич. 2.Графич. 3.Табличный. Св-ва: 1.Равные f(x)=g(x). 2.Четная f(x)=f(-x). 3. Нечет f(x)=-f(x). 4.Периодич f(x)=f(x+T). 5.Сумма или разн-ть ф-ий. 6. Произведен или частное. Функции бывают огранич и монотон.

Классы ф-ий:

1.y=C- константа.

2.y=x^a – степеная.

3.y=a^x – показ-ая.

4.y=log_xa – логарифм.

5. y=sin(x) – тригон.

6.y=arcsin(x) – обрат. тригоном.

Элементарные ф-ии дел-ся на классы:

1)Многочлены.

2)Рациональные.

3) Иррацион-ые 

4)Трансцендентные – все остальные.

3. Т. Коши об  обращ. в нуль ф-ии, непрер. на отрезке.

Услов непрер-ти по Гейне:  "x_nÎX nÎN limx_n=x₀ n->8: Lim f(x_n)=f(x₀). По Коши. "e>0 $d>0 "xÎU(x₀,d)ПX: f(x)ÎU(f(x₀),e) или "e>0 $d>0 "xà|x-x₀|<d : |f(x)-f(x₀)|<e. Опр. Функция f : XàR наз-ют непрерывной в точке x₀ÎX, если бесконечно малому приращению аргумента x соотв-ет бесконечно малое приращ функции. Т.(Больцана-Коши)Если f непрер на отрезке [a,b] и и f(a)=A, f(b)=B, то для люб. C A<C<B сущ cÎ[a,b]: f(c)=C. Д-во.Метод половин деления. [a,x0]U[x0,b]. Тогда возможны случаи 1). f(x0)=C 2)f(x0)¹c Þ[a1,b1]:2 x₀₁Þ [a2,b2]...[an,bn] – вложен. отрезки. A£f(an)£C£f(bn) lim an=lim bn=c nà8. f(x) – непрер. Þ limf(an)£C£limf(bn) при nà8 Þ limf(x)£C£limf(x) при xàc-0 и xàc+0 Þ f(c)=C ЧТД. Сл-ие. Если f(x) – непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения разл. знаков, то тогда сущ. точка в котор. ф-ия обращается в нуль.

2. Дифференц-ть  ф-ии. Т о непрер.

Опр. Функция f(x), определ-ая в некотор. окр-ти точки h₀ÎR, наз-ся диференцируемой при x=x₀, если ее приращение представимо в виде Dy=ADx+o(Dx) , x₀+DxÎU(x₀,Dx), Dxà0, A- число. Опр. Линейная часть приращения дифер-ой ф-ии наз-ся диференц-ом ф-ии y=f(x) в точке h₀. Обоз. dy=ADx, dy=Adx, полагая по опр-ию Dx=dx. Т. для того чтобы ф-ия y=f(x) была диференц-ма в точке x₀, н.д., чтобы она имела производную в этой точке, при этом dy=f’(x₀)dx. Т. Если ф-ия y=f(x) диф-ма в некотор точке x0, тогда она и непрерывна в этой точке. Д-во. Dy=A Dx+o(Dx), Dxà0. Þ lim Dy=lim(A Dx+o(Dx))=0 если Dxà0. xÎU(x₀,Dx). ЧТД.

4.Т.Веерштрасса.  Св-ва ф-ии непрер на отр-ке.

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна в точке x=x₀, если предел f(x) при xàх₀= f(x₀)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка и в точке х=а непрерывна справа, х=b непрерывна слева.

Опр. Функция f : XàR наз-ют непрерывной на мн-ве X, если она непрерывна в каждой его точке.

Т1.(Вейерштрасса) Если ф-ция f(x) опр-на и непрерывна в замкнутом промежутке [а,b], то она ограничена и снизу и сверху, т.е. сущ-ет m и M, что m<=f(x)<=M при а<=x<=b.

Т2(Веерштр) Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней грани. Д-во. Пусть xÎ[a,b]ÎR и f(x) – непрер. M=supf(x), a£x£b. Треб-ся док-ть M<8 и $ x0Î[a,b], что f(x0)=M. 1) f(x)£M. 2) $ x*, f(x*)>M-e=An или $xnÎ[a,b]:f(xn)>An и lim An=M a£xn£b – огран. послед-ть

Сл1. Если f(x) – непрер на [ab]  и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то тогда сущ. хотя бы 1 точка в которой функция обращается в ноль. Сл2 Если f(x) – непрер- на [ab] и m=inf f(x) M=sup f(x), то тогда f(x) Î[m,M]

6.Триг. ф-ии компл. перемен.

Известно из анализа, что (e^ix+e^-ix)/2=cos(x) и (e^ix-e^-ix)/2i=sin(x) – формулы эйлера. Если 2 часть умн на i и сложить получим: e^ix=cos(x)+isin(x),  z=R(cos(f)+isin(f)) z=Re^if.f1(z)=(e^iz+e^-iz)/2=cos(z), f1(z)=(e^iz-e^-iz)/2i=sin(z). Фуникции sin(z) и cos(z) явл-ся анал-им продолжением ф-ий sin(x) и cos(x) на всю комлексн пл-ть. Св-ва ф-ии sin и cos четная и нечетая и период-ая. sin(z+2pi)=sin(z).

12. Степень в компл. обл-ти.

z^a. zⁿ=Rⁿ(cos(nf)+isin(nf))

5.Мощность мн-ва.

Рассмотр X={x1,..} и Y={y1,...} Пара (x1,y2) говорит о том, что устан-но соот-ие: эл-ту x1 соотв-ет эл-т y1 и наоборот. Рассм-им (x2,y2)...(xn,yn). Этот набор пар наз-ся соотв-ием между мнжеств X и мн-ев Y. Опр. Соотв-ие f наз-ют взаимооднозначным титт. когда: 1)Для каждого xÎX $yÎY, которое ему соотв-ет. 2)в том же соотв-ие "yÎYà$xÎX. Соотв-ие f1 не явл-ся взаимодн-ым. т.к. не вып-ся требование для всех и в этом соотв-ии эл-ту x3 соотв-ет 2 эл-та из Y. Рассм A и B. Соотв-ие f2 явл-ся взаимоодн-ым т.к. 1-ое и 2-ое условие опр-ия выполн-ся. Рассм-им бескон-ые мн-ва. И разобьем их на классы. К одному классу отнесем только те мн-ва между которыми можно установить взоимоод-ое соотв-ие. Эти мн-ва наз эквивал-ми и каждому классу поставим в соотв-ие некотор. символ, кот. назовем коорд-ым числом. Это чмсло б. называть мощностью. Опр. мн-ва, эквив-ые мн-ву N{1,2,3..} наз. счетными. Мн-во явл-ся счетным если его можно занумеровать. Мн-во Z(целые) – тоже счетно.

Т мн-во точек отрезка [0..1] несчетно.

От противн. Пусть мно-во счетно. Тогда мн-во точек этого мн-ва можно занумеровать. Обозначим отр [0...1]=D. Этот отрезок разделим на три части и выберем ту часть, но которой нет точки с номером, выбраный отрезок обозначим через D1. Разоб. его на 3 части и выберем ту часть, но которой нет точки с номером, выбраный отрезок обозначим через D2 и тд. Получим посл-ть {Dn} Она облад св-ми 1)Каждый послед-ий отрезок соед-ся с пред-им  2)длина Dn=(1/3)^n. А значит lim Dn=0. Такая посл-ть отрезков наз-ся влож-ых отр-ов. По Т.Веерштрассе сущ-ет такая точка a0 которая принад-т всем отрезкам т.е.a0Î[0...1] а значит по предполож-ию у нее есть свой номер n0. Тогда согласно построению отрезка Dn0 – не содержит a0, а значит и все послед-ие отрезки этой точки не содержат. Получ. противоречие. (мно-во [0..1]- мощность континум).

8. Теорема  Лагранжа.

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и сущ-ет конечная производная f’(x) по крайней мере в открытом промежутке (a,b). Тогда между a и b найд-ся точка c что для нее выполн-ся: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)

Д-во. Введем вспомог-ую функцию, определив ее на отрезке [a,b] равенством F(x)=f(x)-f(a)-(f(x)-f(a))* (x-a)/(b-a). Эта ф-ия непрерывна на [a,b]. В промежутке (a,b) она имеет производную F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Непосредст-ой подстановкой убеждаемся в том что F(a)=F(b)=0, т.е. F(X) принимает равные значения на концах пром-ка. Сл-но, к функции F(x) можно применить теорему Ролля и утверждать сущ-ие в (a,b) такой точки c что F’(c)=0. Т.о получаем f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 ЧТД.

7. Посл-ти. св-во. Т о единств. предела посл-ти.

Опр. Всякое отображение f:NàX наз-ся посл-тью эл-ов мн-ва X. Эл-т f(n) – обозн через x_n и наз-ся n-ым эл-ом посл-ти f:NàX, а сама эта посл-ть x_n=f(n) – обозн. через {x_n} и x_n, n=1,2,3... f(n) – формула общего члена посл-ти. Если f(n)=a – стационарная посл-ть. Опр. если мн-во XÎR, то тогда посл-ть f: NàXÎR наз. числов посл-тью. Св-ва числ. посл-ти. 1) {zn}={xn}±{yn}={xn±yn} 2) {zn}={xn}*/{yn}={xn*/yn} 4) xn – огранич посл-ть если m£xn£M. 5) xn – монотон. посл-ть. Опр. точка a наз-ся пределом числ. посл-ти xn, если какова бы ни была e окр-ть точки a, она содержит все члена посл-ти начин снекотор. номера. "e>0 $ne: "n>ne xnÎU(a,e). Опр. если посл-ть имеет конечн предел, то она наз-ся сход-ся.

Т. Посл-ть точек числ. прямой R м. иметь на этой прямой только 1 предел.

Д-во.(от противного)

1) Lim xn=a nà

2)Lim xn=b nà a¹b. U(a,e1)иU(b,e2)=0 Þ |xn-a|<e1 "n>N1, |xn-b|<e2 "n>N2 Þ N0=max(N1,N2) "n>N0 xnÎU(a,e1), xnÎU(b,e2). Противоречие.

9. Формула  Н.Лейбница.

Формула Н.Лейбница. Если f(x) непрер на [a,b] и Ф(x) ее первообразная, то тогда Sf(x)dx=Ф(b)-Ф(a).

Д-во F(x)=(a до x)Sf(t)dt ÞF(x) F(x)=Ф(x)+C 1) x=a F(a)=(a до a)Sf(t)dt=Ф(a)+C=0 получаем C=–Ф(а) 2) x=b F(b)=Ф(b)+c F(b)=Ф(b)-Ф(a)=(a до b)Sf(x)dx.ЧТД.

10.Производная  ФКП. Условие ее существования.  Аналитич-ие ф-ии. Свойства аналит  функций

Опр. Пусть f(z) – задана в нек. области E тогда lim(f(z)-f(z₀))/z-z₀ zàz₀ – производная в точке z₀. Если он сущ-ет то производная в точке z₀ – обознач-ся f’(z₀)df(z₀)/dz. f(z) – наз-ют диф-ой в точке z₀ и в некоторой ее окр-ти то ф-ию наз-ют аналитич-ой в точке z₀. Критерий диф-ти для диф-ти ф-ии f(z) в точке z0 НиД чтобы Df(z)=ADz+E(Dz)Dz. E(Dz)- бескон малая относ-но z.

11. Теорема  о  существовании  предела  у  монотонной   ограниченной последовательности.

Т. (Необход условие  сущ. предела) Для того, чтобы посл-ть {Xn} сходилась, необходимо, чтобы она была огран-ой. Д-во: Необход. Дано, что Lim Xn=a(nà8) Þ " e>0 $ ne "n>ne : |Xn-a|<e , m=a-e<Xn<a+e=M. Отсюда следует, что посл-ть ограниченая. Дост. Пусть m<Xn<M Lim Xn=a.

13. Определенный интеграл.

y=f(x) xÎ[ab]ÎR f(x) – непрер-на. Dxi=xi-xi-1 i=1...n 1)[x0,x1]:m1 2)[xn-1,xn]:mx a£ce£b  Sm£Se£Sm S=f(s)*Dx Sn£Sn£Sf(si)*Dxi=Sf(si)*Dxi£ - Римана. Опр. Сумма Sf(si)*Dxi  - наз-ся интегр-ой суммой Римана. Опр. Сумма и Sn  - наз-ют верхней и нижней суммой. Опр. функция f(x)>=0 наз-ют интегрир-ой по Риману если сущ-ет такое число AÎR, что для любой посл-ти разбиения отрезка [ab] у которой, Cn=max|Dxi|à0 и для для любого выбора точек Si Î (xi-1,xi) сущ-ет предел последоват-ей интегрир-мых сумм Sn и он равен A. 

Опр. (a...b)Sf(x)dx=A – действит число A наз-ся действ-ым интегралом (a...b)Sf(x)dx=lim Sn. Опр. (e,d) число A наз-ся опред-ым интегралом. " e>0 $d=de>0 "D(xi)à0 |Sf(si)Dxi-A|<e. Т(о сущ-ии опред-го интеграла. Критерий Коши). Для того чтобы ф-ия была интегрир-ма на отрезке [ab]ÎR. Необходимо и дост-но " e>0 $d=de>0 "Dxi "xi l’_n<d и l''_n<d имеет место нер-во |S’n-S’’n|<e где l’_n=max(Dxi) l’’_n=max(Dx_i’’)

Св-ва опр интегр.

1) (a...b)Sdx=b-a

2) Если сущ-ет (a...b)Sf(x)dx то и сущ-ет (c...d)Sf(x)dx [cd]Î[ab]

3)(a..b)Sf(x)dx= (a..c)Sf(x)dx+(c..b)Sf(x)dx

4) (a..b)S(f(x)+g(x)dx=(a..b)Sf(x)+(a..b)Sg(x)dx

5)Sc*f(x)dx=c*Sf(x)dx

6)Если сущ-ет Sf(x)dx и Sg(x)dx то сущ-ет Sf(x)*g(x)dx или Sf(x)/g(x)dx

7) Если f(x)>g(x), то и Sf(x)dx>Sg(x)dx

8)|Sf(x)|£S|f(x)|

9)Если f(x)=f(-x) то (-a...a)Sf(x)dx=2*(0...a)Sf(x)dx 10) Если f(x)=-f(x) то (-a...a)Sf(x)dx=0

16. Объем и площадь тел вращения.

Вычисл. обьемов y=f(x) xÎ[ab] Sn- интегр. сумма и Sn=Vn – интегр. сумма для обьема. Sn=Vn=(i от 1 до n)S(p*f^2(ei)*Dxi) max(Dxi)à0. R=f(ei) и h=Dxi Þ p*R^2*h – фигура кубируема. Тогда V=p*(a..b)Sf^2(x)dx. Площадь поверхности тел вращения. S=(a...b)S(f(x)*sqrt(1+f’_x*f’_x))dx      V=(a...b)S(s(x))dx – обьем через площадь.

14. Теорема о существовании точных  границ  у ограниченного множества.

Опр. Мн-во Х, входящее в R называется ограниченым сверху, точно тогда, когда существует b, принадлежащее R, что для любого х из мн-ва Х х<b.

Опр. Мн-во Х, входящее в R называется ограниченым снизу, точно тогда, когда существует а, принадлежащее R, что для любого х из мн-ва Х а<=x.

Опр. Множество, ограниченое сверху и снизу наз. ограниченным.

Опр. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу мн-во Х, входящее в R, называется его нижней гранью - inf {X}.

Опр. Наименьшее среди  всех чисел, ограничивающих сверху мн-во Х, входящее в R, называется его верхней гранью - sup {X}.

Т-ма: Всякое ограниченное сверху непустое числовое мн-во имеет верхнюю грань, а всякое ограниченое снизу непустое числовое  мн-во имеет нижнюю грань.

Док-во: Пусть Х –  ограниченое сверху непустое числовое мн-во из R, а Y – множество всех чисел, ограничивающих сверху данное множество Х. Тогда имеется y из Y, такое, что для любого х из Х, x<=y, где x, y – любые числа из Х и Y. По св-ву непрерывности существеуeт В такое, что для любого х из Х и для любого у из У имеет место x<=В<=y. Т.е. x<=В есть В - ограничивает сверху Х. В<=y есть В  - ограничивает снизу У и, следовательно, является наименьшим из всех ограничивающих мн-во Х чисел. Отсюда по опр. Следует, что В = sup {X}. Для мн-ва, ограниченого снизу – док-во аналогично.

18) Ряд Тейлора.

Рассм-ся вопрос о представлеии функции f(x) в некотор. окр-ти точки x0 в виде суммы степен. ряда по степеням (x-x0): f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+.... Опр. Пусть функция f(x) определена в некотор. окр-ти точки x0 и имеет в этой точке произв всех порядков. Тогда ряд. - наз-ся рядом тейлора функции f(x) в точке x0/ Пря x0=0 ряд наз-ся рядом Маклорена. 1)e^x=x^n/n! 2)sin(x)=((-1)^k*x^(2*k+1))/(2*k+1)! 3)cos(x)= ((-1)^k*x^(2*k))/(2*k)! 4)ln(1+x)=(-1)^n*n!/(1+x)^(n+1)

23.Показ-ая  и логарифмич ф-ия.

Ln(z)=ln|z|+iArg(z). Н-ер Ln2=ln2+2pki, Ln(-2)=ln2+i(p+2pn). Св-ва Ln(z1/z2)=Ln(z1)-Ln(z2), Ln(z1*z2)=Ln(z1)+Ln(z2)

Показ-ая: a^z. az=e^zlna. e^z=e^x(cos(y)+isin(y)). e^z1+z2=e^z1e^z2.Arg(e^z)=y.

17. Числовые  ряды.  Признак  Даламбера   сходимости   положительных числовых рядов.

Опр1.  Пусть a1, a2, a3 .. an 0 некоторая посл-ть действ. чисел. Составл-ая из этих чисел формальная сумма a1+a2+a3+...+an+... наз-ся числов. рядом. Сокращ. (от 1 до 8)San. an 0 n-ый член ряда. Sn – n-ая частич. сумма.

Опр2. Если сущ конечный или бескон-ый предел S=Lim Sn (nà8) то он наз-ся суммой ряда.

Опр3. Если ряд имеет  конечную сумму, его наз-ют сход-ся, а в противном же случае – расход-ся.

Т1.(признак Деламбера) Пусть an>0. 1) Если для всех достат-но больших n an+1/an£q<1 то ряд Sn  – сход-ся(nà8).

2) Если для всех  дост-но больших n an+1/an>=1 то ряд расход-ся.

Д-во. 1) имеем an+1£q*an, an+2£q*an+1£q^2*an, ... , an+m£q*an+m-1£q^m*an. Так как ряд q*an+q^2*an+... – сход-ся(сум бескон геом. прогрессии со знам-ем 0<q<1), то в силу 1 признанка сравнения сход-ся и ряд an+1+an+2+... Сл-но, ряд San – сход-ся.

2) из 2 вытекает  an£an+1£an+2... и т.к. an>0, то anà0 при nà8 – ряд расх-ся.

19. Определение и вычисление длины  дуги.

x=x(t) y=y(t) z=z(t), r(t)=sqrt(x^2+y^2+z^2)

1)L=(t1....t2)S(sqrt(x’^2+y’^2+z’^2))dt

2)L=(a...b)S(sqrt(1+f’^2))dx  y=f(x)

22. Непрерывность функции.

Опр. Функция f(x) наз-ся непрерывной в точке x0ÎX, если Lim f(x)=f(x0) xàx0. Опр. точка A наз-ся пределом функции f(x) слева при xàx0ÎR если lim f(x)=A xàx0-0. Опр точка A наз-ся пределом функции f(x) справа при xàx0ÎR если lim f(x)=A  xàx0+0. Опр Пределы слева и справа наз-ся одностор-ми пределами. Т. Функция f(x) имеет предел в точке x0=a если в этой точке $ пределы слева и справа и они равны. Тогда их общее значение и явл-ся пределом ф-ии в точке x0. Д-во

Опр Функция f(x) наз-ся непрер-ой слева(справа) в точке x0, если lim f(x)=f(x0) xàx0-0

Св-ва непрерывной ф-ции:

1) Т1.Коши. Е. ф-ция непрерывна  на [a,b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков то найдется точка с : f(с)=0, а<с<b

2) Т2. Коши. Е. ф-ция непрерывна  на [a,b] и на концах этого промежутка принимает неравные значения то найдется точка с : f(с)=С, а<с<b, f(a)<С<f(b)

Т1.(Вейерштрасса) Если ф-ция f(x) опр-на и непрерывна в замкнутом промежутке [а,b], то она ограничена и снизу и сверху, т.е. сущ-ет m и M, что m<=f(x)<=M при а<=x<=b.

Т2.(Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция  ограничена и достигает на нем  своей верхней и своей нижней грани.

24. Исследование функции с помощью  дифференциального исчисления.

Т. Признак монот-ти ф-ии. Для того, чтобы дифер-мая ф-ия f(x) на (ab) возрастала(убывала) НиД, чтоб "xÎ(ab) f’(x)>=0(£0). Когдп f’(x)>0 – строгое возрастание. Д-во Необх. Пусть f(x) – возрастает т.е. "xÎ(ab) f(x1)£f(x2) x1£x2 x2*Dx=x2-x1>=0 Dy=f(x2)-f(x1)=f(x+Dx)-f(x)>=0 – где x2=x+Dx x1=x. при Dxà0 Lim(Dy/Dx)=f’(x)>=0 x2àx1 "xÎ(ab).

Дост-ть Пусть x2>x1 и f’(x)>=0 "xÎ(ab) По т Лангранжа (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(s) a<s<b.  Но в силу того, что x1- любая точка (ab) следует (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(s) x1<s<x2 à f(x2)-f(x1)>=0 f(x2)>=f(x1). ЧТД.

Функция может иметь max f(x) min f(x)  sup f(x) inf f(x). Т. (Необ. условие экстремума) Для того чтобы точка x являлась экстримальной точкой, необх-мо рав-во нулю ее первой производной. Т.(Достат. условие сущ-ия экстремума) Пусть f(x) – диф-ма в U(x0,e)/x0 "xÎ(ab) и явл-ся непрер-ой в точке x0, тогда, если f’(x) меняет знак при переходе через точку x0, то она явл-ся точкой строгого экстремума. Т.(2 Достат. условие сущ-ия экстремума) Для того чтоб при x=x0 ф-ия f(x) имела экстр-ум дост-но чтоб f^k(x0)=0 k=2,3,4..n-1, а fⁿ(x0)¹0 и n- было четным. Опр Ф-ия f(x) наз-ся выпукл вверх на интервале (ab), когда график этой ф-ии для всех x лежит не выше своей касат-ой. Т.(дост условие выпукл-ти) Пусть f(x) – дважды диф-ма на интервале (ab), тогда когда f’’(x)<0 или f’’(x)>0 то ф-ия направлен выпукл-тью вверх(вниз). Опр Точки, соед-ие интервалы выпуклости вверх и вниз наз-ся точками перегиба. Т(неодх. условие перегиба) Пусть f(x) – дважды диф-ма в окрес-ти точки x0 тогда, когда ее вторая произв-ая равна нулю или не сущ-ет, то точк x0 – явл-ся точкой перегиба. Т(1 дост. условие сущ-ия точки перегиба) Пусть f(x) – дважды диф-ма в окрес-ти точки x0 тогда, когда ее вторая произв-ая изменяет знак при переходе через точку х0, то тогда эта точка явл-ся точкой перегиба. Т(2 дост. условие сущ-ия точки перегиба) Для того чтоб точка x0 явл-сь точкой перегиба дост-но чтоб f^(k)(x0)=0

25. Квадрируемые фигуры. Вычисление  площадей.

Требуется вычислить  площадь S(X). Площадь можно вычислять если она квадрируема (если предел сумм разбиения существует и единственный) S1£S2£...£Sn    S=(a...b)Sf(x)dx 1)Посл-ть сумм Sk –монотонно возрастает. 2) Sn – ограничена сверху sup Sn=Sx=limSn 3) Если X – неограничено, то limSn=+8 но не обязательно. S=(a...b)Sf(x)dx=Sabcd=Lim =LimS_n nà8 . Этот предел существует и конечен при условии max(Dxi)à0 S=(a...b)S(f(x)-f1(x))dx=Sa1bcd1=(a...b)S(f(x))dx-(a...b)Sf1(x)dx=S2+S1 где (a...b)Sf(x)dx=S2  (a...b)Sf1(x)dx<0 Dxi>0 f(s)<0. S=(a...b)S(f2(x)-f1(x))dx=Sabcd=(a...b)S(f2(x))dx-(a...b)Sf1(x)dx=S1-S2 где (a...b)Sf2(x)dx=-S2 (a...b)Sf1(x)dx=-S1

21. Дифференциальные  уравнения 1-го порядка.

 Это уравнения,  в которые входит лишь первая  производная неизвестной функции.  Это уравнение может быть записано в виде

F(x,y,y¢) = 0. (1)

Здесь x - независимая переменная, y - её неизвестная функция, - производная функции y, F - заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y¢.

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:y¢ – x⁴ = 0;  xsiny¢ – lny = 0;xcosy + (y¢ – y²)sinx = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y = j(x), определенная на некотором промежутке (x₁, x₂), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) получается верное равенство на всем промежутке (x₁, x₂). Очевидно, что подстановка y = j(x) возможна только тогда, когда функция j(x) на промежутке (x₁, x₂) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x₁, x₂) точка с координатами x, y, y¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях  уравнение (1) определяет переменную y¢ как функцию независимых переменных x и y:

y¢ = f(x,y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = j(x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x₀, y₀) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен  

j¢(x₀) = f(x₀, j(x₀))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

20.Дифференциал  функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f¢_x(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+Dx,y₀+Dу), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение

Df(х₀,у₀) = f(x₀+Dx,y₀+Dy) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

Df(х₀,у₀) = f¢_x(х₀,у₀)Dx + f¢_у(х₀,у₀)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу, (1)  где , то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

df(x₀,y₀) = f¢_x(х₀,у₀)Dx + f¢_у(х₀,у₀)Dу. (2)

Если точка, в которой  вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом

df = f¢_x dх + f¢_у dу.

Раньше говорилось о  том, что из существования частных  производных в точке не следует  непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

,

а это означает непрерывность  функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных  производных функции в точке  не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀,

то есть çР₀Рç = f(x₀,y₀) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P₀ положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q₀, S₀ и R₀ являются пары чисел соответственно (x₀,y₀+Dу); (x₀+Dx,y₀) и (x₀+Dx,y₀+Dу), причём çQ₀Qç = f(Q₀), çS₀Sç = f(S₀) и çR₀Rç = f(R₀). Приращение Df(х₀,у₀) функции в точке Р₀ равно çRR₂ç.

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: çQ₂Q₁ç = f¢_y(x₀,y₀)Dy и çS₂S₁ç = f¢_x(x₀,y₀)Dx.

Из легко доказываемого равенства çR₂R₁ç = çS₂S₁ç +  çQ₂Q₁çи формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р₀ равен çR₂R₁ç.

Так как df(x₀,y₀) » Df(x₀,y₀), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

15. Линейные ДУ 2-го порядка с пост. коэффициентами.

*Уравнение для отыскания  неизвестной функции относят  к дифференциальным, если в нем  присутствуют производные и   дифференциалы этой функции. Порядком уравнения называют порядок старшей производной или дифференциала от неизвестной функции входящей в это уравнение. Уравнение называют обыкновенным если неизвестная функция зависит только от одной переменной. Решением ДУ называется функция заданная на некотором промежутке и обращающая это уравнение в тождество. Общее решение – это совокупность решений задаваемых, формулой в которой присутствуют переменные и постоянные. Частное решение получим, если придадим какие-то значения постоянным. Полное решение – это совокупность всех решений.

Лин. однор. c пост. коэф. (ЛО). Вида: x⁽ⁿ⁾+a_(n-1)x^(n-1)+…+a₁x¢+a₀x=0 (1), где [a_iÎC, a_iÎR]. Этому ур-нию соответствует стационарный не зависящий от t диффер. оператор: L_n=D ⁿ+a_n-1D^n-1+…+a₁D+a₀D⁰. Ур-ние (1) в операторном виде: L_nx=0. С оператором L_nx тесно связано понятие характ. ур-ния nⁿ+a_n-1n^n-1+…+a₀=0, его корни наз. характ. числами оператора L_n. Пусть n₁…n_n попарно-различные коорни характ. ур-ния соотв. кратности n₁…n_m, где n=n₁+…+n_m. Итак: nⁿ+a_n-1n^n-1+…+a₀=(n-n₁)ⁿ¹×…×(n-n_m) ^nm=0, L_n=(D-n₁D⁰)ⁿ¹×…×(D-n_mD⁰) ^nm.

Св-ва: 1) Мн-во решений ЛО ур-ния есть линейное пр-во. 2) Принцип суперпозиции. Если x_i-решение неоднородного ур-ния L_nx_i=f_i; i=1,2,…, то функция x=ax₁+bx₂ является решением неоднородного уравнения L_nx=f, где f=af₁+bf₂. 3) "решение лин. неоднородного ур-ния L_nx=f представимо в виде суммы: x=x₀+x^* некоторого решения x₀ однородного ур-ния и частного решения x^* неоднородного исходного ур-ния.

Th(Об однозначности разрешимости задачи Коши для ЛО ур-ния n-го порядка): При "tÎR, x_kÎC(R), 0£k£n-1 задача Коши L_nz=0; D^kz|_t=t0=z^(k)(t₀)=x_k, 0£k£n-1 однозначно разрешима и её решение z(t)=åQ_j(t)exp(n_jt) [j=1,m] есть квазиполином, в ктором n_j-корень характеристического ур-ния, кратности n_j, n₁+…+n_m=n, а степень полинома Q_j(t) £ n_j-1.

Сл1:!-ым решением нулевой задачи L_nz=0; D^kz|_t=t0=0, 0£k£n-1 является нулевое или тривиальное решение z(t)=0.

Сл2:Если коэффициенты ЛО уравнения n-порядка постоянны и вещественны, то при "веществ. t₀ и x, задача Коши L_nz=0; D^kz|_t=t0=x_k, 0£k£n-1 однозначно разрешима по формуле x(t)=åQ_p(t)×exp(l_pt)[p=1,r -1]+å(Q¢_p(t)×cos(m _pt)+Q¢¢_p(t)×sin(m _pt))×exp(l_pt) [p=r ,r], в которой её полиномы Q¢¢_j,Q¢_j     вещественны и имеют степень £ n_j-1, а корни n_p хар-го ур-я имеют представление: n_p=l_p+i×m _p, m _p={0, если 1£p£r-1; ¹0, если r£p£r}.

Л: (о частном  решении ЛО ур-я n-го порядка с пост. коэф-ми):Пусть n_k произвольный корень кратности n_k³1хар-го ур-я nⁿ+a_n-1n^n-1+…+a₀=0. Тогда x(t)=t^l×exp(n_k×t), l=0,n_k-1 явл. решением ур-я L_nx=0 со стационарным опер-ом L_n.