Формула полной вероятности и формула Бейеса(Байеса) и их применение

       Введем  обозначения:

       А – шар, извлеченный из второй урны, белый;

       гипотезы  – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,

        – переложены 2 разноцветных шара,

        – переложены 2 черных шара.

       Тогда

       Вероятности гипотез  и условие вероятности вычисляем по классической схеме:

       Полученные  результаты подставим в формулу полной вероятности:

б) Вероятность 

4. Основные сферы применения формулы Байеса(Бейеса)

       1)Математический  инструмент в теории вероятностей.

       2)В  статистике – как обобщение  предшествующего опыта. Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий экспериментально оценить априорное распределение вероятностей. Далее мы верим в то, что рассматриваемый нами новый объект относится к той же группе. Это позволяет строить классификаторы, основанные на байесовской формуле.

       3)В  статистике - для сравнения разных  моделей в случае, когда априорные  распределения настолько нечетки,  что вообще несущественны. Очень  часто используется BIC (байесовский  информационный критерий).

       4)Описание  умонастроения. Сторонники интерпретации вероятности события как меры субъективной уверенности в его возможности могут пересчитывать эти величины в процессе появления новых данных. Очевидно, что математика здесь может быть подобной мельнице перемалывающей труху: произвол в определении априорных вероятностей может быть опасным.

Заключение

       Формула полной вероятности  широко использовалась математиками при конкретных расчётах ещё в начале XVIII века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей Пьером-Симоном Лапласом лишь в конце того века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции.

       Формула Байеса позволяет «переставить причину  и следствие»: по известному факту  события вычислить вероятность  того, что оно было вызвано данной причиной.

       События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

       Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные (другие произошедшие события). Для учета  каждого следующего события нужно  в качестве априорной вероятности гипотезы подставлять ее апостериорную вероятность с предыдущего шага. 
 
 
 
 
 

      Литература 

1. Вентцель  Е.С. Теория вероятностей. - М, «Высшая школа» 2002
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, «Высшая школа» 2004
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М, «Айрис-пресс» 2004 г.
4. Сайт: Численные методы и теория вероятностей. http://www.uchites.ru/
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование.2005.