Формула байеса

Формула полной вероятности  и формула Байеса

Пусть событие A может наступить только с одним из n попарно несовместных событий  , которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

. Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность  можно переоценить, т.е. найти условные вероятности   . Эта задача решается по формуле Байеса:

где   вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример.

В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность  того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение.

Введем обозначения:

А – шар, извлеченный из второй урны, белый;

гипотезы   – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,

 – переложены 2 разноцветных шара,

 – переложены 2 черных шара.

Тогда

Вероятности гипотез   и условие вероятности   вычисляем по классической схеме:

Полученные результаты подставим  в формулу полной вероятности:

б) Вероятность   находим по формуле Байеса:

. Формула полной вероятности  и формула Байеса

Если событие   может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез)  , то вероятность события   вычисляется по формуле полной вероятности:  , где   - вероятность гипотезы  ,     - условная вероятность события   при выполнении гипотезы   (  .

Проиллюстрируем формулу полной вероятности  на графе с выделенной вершиной:

Рис. 17

Полная вероятность события   равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно  связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были  ,  , ...,  , а в результате опыта появилось событие  , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса

 

 

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность   может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе  , к весу всего вероятностного графа.

Пример 31. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что  случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции  болт оказался дефектным. Какова вероятность  того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. Пусть событие   = {выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем три гипотезы:

={болт изготовлен первой машиной},  =0,25,  =0,05;

={болт изготовлен второй машиной},  =0,35,  =0,04;

={болт изготовлен третьей машиной},  =0,4,  =0,02.

 

Рис. 18

а) 

б) 

 

 

 

 

Пример 32. Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше - когда студент пришел на экзамен первым или вторым?

Решение.   Найдем вероятность   взять известный билет, придя на экзамен вторым, учитывая, что первый может взять как известный, так и неизвестный второму билет.

 

Рис. 19

 

 

Пример 33. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?

Решение. Пусть событие   = { достать туз}.

 

Рис. 20

 

 

, следовательно, в первом случае  вероятность достать туз меньше, чем во втором.

Пример 34. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?

Решение.

 

Рис. 21

 

 

Какие гипотезы использовались в решении  этой задачи?

Пример 35. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение.

Рис. 22