Дискретные случайные величины

Дискретные  случайные величины

   Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений.

Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами:

X, Y, Z

Вероятностное пространство дискретной случайной  величины задается в виде:

, n - конечное или бесконечное.

Пример:

Испытание - композиция n-независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие A с вероятностью p, либо  с вероятностью 1-p.

Вероятностное пространство

В этом примере s-алгеброй является множество всех подмножеств пространства элементарных событий. Введенную нами случайную  величину x по определению можно задать:

- верхняя строчка  - это совокупность возможных  числовых значений, которые может  принимать случайная величина;

- нижняя строчка - вероятность наступления этих числовых значений.

Практически во всех задачах естествознания отсутствует  промежуточный этап: испытание, W - пространство всех возможных исходов испытания, - числовая скалярная функция, элементы которой wIW.

На самом деле структура:

- испытание;

- исход испытания;

- число на  числовой оси. 
 

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. 

Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида

xi - все возможные  различные конкретные исходы  испытания;

pi - вероятности  их наступления.

Математическое  ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы:

Как центр масс:

Смысл характеристики мат.ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной. 

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.  
 
   Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна

. Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и .

Например, запись

означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.  
 
   Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

 
   Подсчитаем вероятности благоприятных  комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

 
   Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании  теоремы умножения вероятностей) составляет

 
 
   Так как в любой другой благоприятной  комбинации Вi событие A встречается также m раз, а событие происходит n-m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак

 
   Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании  аксиомы сложения вероятностей)

 
   Следовательно,

 
   Формула (13) называется формулой Бернулли.  
 
   Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?   

Решение:  
   n=8;  
   m=5;  
   p=0,6;  
   q=1-0,6=0,4.  
 
   Используя формулу (13'), имеем

 

 
 
   Часто необходимо знать, при каком  значении m вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число

наступления события A в данной серии опытов. Можно доказать, что число должно удовлетворять двойному неравенству

 
   Заметим, что сегмент [np-q;np+p], в котором лежит , имеет длину (np+p)-(np-q)=p+q=1. Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: np-q и np+p.  
 
   Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1.

 
   Решение: 
   n=8;  
   p=0,6;  
   q=0,4;  
   np-q=8*0,6-0,4=4,4;  
   np+p=8*0,6+0,6=5,4.  
 
   Согласно формуле (14) наивероятнейшее значение лежит на сегменте [4.4;5.4] и, следовательно равно 5.

 
 
   При больших значениях n подсчет вероятностей Pn(m) по формуле (13) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой:  

 
 
   Формула (15) выражает так называемую локальную теорему Лапласа **. Точность этой формулы повышается с возрастанием n.  
 
   Функция , как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей. Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении. 
 
   Пример 3. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

 
   Решение:  
   m=20;  
   n=80;  
   p=1/6;  
   q=1-1/6=5/6;  
 
   далее находим: