Автор: Пользователь скрыл имя, 08 Февраля 2013 в 07:46, реферат
Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое число автомашин в очереди. Можно выстрелить из пушки и измерить расстояние от места выстрела до места падения снаряда. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со случайной величиной.
Доказательство.
Если заданы законы распределения
двух независимых случайных величин
x |
х1 |
¼ |
xi |
¼ |
xn |
h |
y1 |
¼ |
yj |
¼ |
yk | |
|
Р |
|
¼ |
|
¼ |
|
Р |
|
¼ |
|
¼ |
|
то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:
М(xh) = =
= х1 +х2 +¼+ хi ¼+ хn =
= х1 Mh + х2 Mh + ¼+ хi Mh¼+ хn Mh = Mh = Мx×Мh
Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулой
Dx = M(x – Mx)2
Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Рассмотрим случайную величину x с законом распределения
x |
1 |
2 |
3 |
Р |
|
|
|
Вычислим её математическое ожидание.
Mx = 1× + 2× + 3× =
Составим закон распределения случайной величины x – Mx
x– Mx |
|||
|
Р |
а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)2
|
(x– Mx)2 |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
Теперь можно рассчитать величину Dx :
Dx = × + × + × =
Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:
Dx =
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
Dx =
=
= Mx2 – M2x
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.
Пример.
Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения
x |
1 |
0 |
Р |
p |
q |
Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx2 = р. Таким образом, получается, что Dx = р – р2 = pq.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.
Свойства дисперсии.
Доказательство.
D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 =
= k2 Dx
Это свойство оставим без доказательства. Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.
Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:
x |
0 |
1 |
h |
1 |
2 | |
Р |
0,25 |
0,75 |
Р |
0,7 |
0,7 |
Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.