Дифференциалық теңдеулер

Математеканың  дамуындағы  бұл  кезең  17  ғасырдағы  математикалық жаратылыс  танудың  (ең  әуелі  механика,  оптика)  дамуына  тікелей байланысты туды,  жекелеген  табиғат  құбылыстарының  ағымын  жалпы,  математикалық  жолмен  тұжырымдалған  табиғат  заңдары түрінде  өрнектеу  қажет  болды.17 ғасырдағы  математикалық  жетістіктері  логарифмдердің  ашылуынан  басталды. 1637 жылы  Р. Декарт «Геометрия»  атты  еңбегін  жариялады. Ол  мұнда  сол  дәуірдегі  бүкіл  математикаға  дерлік  алгебраны  арқау  етіп  аналитикалық  геометрияны  жасады. Осының  арқасында  математикалық  анализдің  түрлі  салаларының- дифференциалдық  интегралдық, вариациялық  есептеулердің  тууын  дайындаған  жалпы  әдіс  жасады. Декарттың  бұл  әдісі  екі  идеяға- координаталар  мен  айнымалы  шамалар  идеясына  негізделді. Математикалық  анализдің  бастамаларын  жасауда П.Ферма, И. Кеплер, Б. Паскаль, ағылшын  математигі  Дж. Валлис т.б.  көп  еңбек  сіңірді. р (х)=0 теңдеуінің  түбірлерін y=p(х)  қисық  сызығы  мен  абцисса осінің  қиылысу  нүктелері  арқылы  кескіндеу  мүмкіндігіне тығыз  байланысты  алгебрада  кез  келген  дәрежелі  теңдеудің  нақты  түбірлерін  зерттеу  қолға  алынды (Р. Декарт, И. Ньютон, француз  математигі  М. Ролль). И. Ферманың  максимум  және  минимумдар, қисық  сызықтарға  жанама  жүргізу  жөніндегі  зерттеулерінде  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулердің  әдістері  кездеседі. Шексіз  аз  шамалар  анализінің  тағы  бір  көзі И. Кеплер (1615) мен  Б. Кавальери (1635) еңбектеріндегі  айналу  денелерінің  көлемін  және  басқа  есептерді  шешуге  қолданылған « бөлінбейтіндер  методы»  болып  табылады. 17 ғасырдың  аяғына  таман И. Ньютон  мен Г. Лейбниц  еңбектерінде  дәл  мағынасындағы  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулердің  негізі  қаланды. Олар  алғаш  рет  жаңа  есептеудің  негізгі  амалдары  дифференциалдау  мен  интегралдауды  жалпы  түрде  қарастырып, олардың  өзара  байланысын  тағайындады ( Ньютон- Лейбниц  формуласы) . Лейбниц  болса  әсіресе  шекті  шамалар  алгебрасынан  шексіз  аз  шамалар  алгебрасына  көшуге  көп  көңіл  болды, ол  интегралды  ең  әуелі  саны  шексіз  көп  шексіз  аз  шамалардың  қосындысы  ретінде, ал  дифференциалдық  есептеулердің  негізгі  ұғымын  айнымалы  шамалардың  шексіз  өсімшесі  түрінде  қарастырды. Бұл  саладағы  идеяларды  Я. Бернулли, И. Бернулли, француз  математигі Г. Лопиталь  т.б.  одан  әрі  дамытты.

Көптеген процестердің математикалық түрі, ізделінетін  белгісіз шама цифр емес, ал белгілі  бір аргументке тәуелді функция  ретінде берілетін теңдеумен  өрнектеледі. Сонымен қатар, бұл  функция өз туындысы және аргументімен байланысты болады. Бұндай теңдеулер  дифференциалдық теңдеулер деп  аталады. 
Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализ жүргізуде үлкен роль атқарады. 
Жұмыстың мақсаты: дифференциалдық теңдеулер жүесін тереңірек зертттеу, MatLab пакетінің дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге арналған функцияларымен танысу, сандық әдістерді оқып-білу. 
Қойылған проблеманың актуальдығы: қазіргі кезде техниканың дамуына байланысты әр түрлі химиялық, физикалық заттардың құрамын, массасын, көлемін, ұзындығын, т.б. – параметрлерін зерттеу қажеттігі туып отыр. Одан басқа бұл параметрлердің уақытқа және де т.б. шамаларға тәуелділігін де білу керек. Мұның бәрін тек дифференциалдық теңдеулер жүйесі көмегімен ғана жүзеге асыруға болады. 
Қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулер техника ғылымдарынң барлық дерлік салаларында кең қолданысқа ие болып отыр.

Арнаулы функциялар — математикалық физика теңдеулерін интегралдағанда жиі кездесетін функциялар класы. Негізгі А. ф. коэффициенттері айнымалы болып келетін екінші реттік сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешуі түрінде анықталады. А. ф-дың маңыздылары: гипергеометриялық функция, сфералық функция, цилиндрлік функция т.б. Қарапайым функциялармен өрнектелмейтін трансценденттік функциялар да (гамма-функция, дзета-функция, интегралдық логарифм, ықтималдық интегралы, эллипстік функциялар т.б.) А. ф. қатарына жатады.

Дифференциалдық теңдеулер — ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер.

Клеро теңдеуі – y=xy'+f(y') түріндегі 1-ретті жай дифференциалдық теңдеу (мұндағы f – берілген дифференциалданатынфункция). Бұл теңдеуді тұңғыш рет француз математигі әрі астрономы А.Клеро (1713 – 1765) қарастырған (1734). Клеро теңдеуі шекті түрде интегралданады. Клеро теңдеуінің жалпы шешімі: y=Cx+f(С) (*) түріндегі түзулер үйірі, мұндағы С – кез келген тұрақты. Клеро теңдеуінің мұндай жалпы шешімінен басқа: x=–f '(p), y=–pf(p)+f (p) түріндегі ерекше шешімі де болады (мұндағы p – параметр) және ол (*) түзулер үйірінің орауышы болып есептеледі. Клеро теңдеуі – Лагранж теңдеуінің дербес түрі.

Дифференциалдық теңдеулер  математикалық анализ жүргізуде  үлкен роль атқарады.