Дифференциалдық теңдеулер

  Дифференциалдық теңдеулер

  Көптеген процестердің математикалық түрі, ізделінетін белгісіз шама цифр емес, ал белгілі бір аргументке тәуелді функция ретінде берілетін теңдеумен өрнектеледі. Сонымен қатар, бұл функция өз туындысы және аргументімен байланысты болады. Бұндай теңдеулер дифференциалдық теңдеулер деп аталады.

Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализ жүргізуде үлкен роль атқарады.

Қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулер техника ғылымдарынң барлық дерлік салаларында кең қолданысқа ие болып отыр.

   Бір немесе бірнеше айнымалы функцияны, айнымалыларды жəне функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеу - дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер ізделінді функция тек бір ғана айнымалыдан тəуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым деп аталады.

 Егер теңдеу бірнеше айнымалыдан тəуелді болып жəне оның осы айнымалыларынан алынған дербес туындыларынан тұрса,онда дербес туындылы дифференциалдық теңдеу делінеді.

Теңдеудің құрамындағы ең жоғарғы туындының реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.

G(x,y,y ′,y′′..., y(n))=0

n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек,

y(n)= F(x,y,y′, y′′,y′′′,...)

бас туындыға қатысты шешілген теңдеу.

Мысалы 1: у′′+5xу′-x2y2 = 0 – екінші ретті,

d3y/dx3 –xy2 dy/dx =7- үшінші ретті,

y′+5xy = cosx – бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

     Дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын,яғни оны тепе- теңдікке айналдыратын y=f (x) функциясы теңдеудің жалпы шешімі деп аталады.

Мысалы 2: y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі бола ма?

Шешімі: берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтауымыз қажет.

у′ =cosx ⇒ у′′= - sinx

y′′, y-ті теңдікке қойсақ:

-sinx + sinx =0

0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдіктің шешімі болады.

Мысалы 3: y= x2(1+Ce x) функциясы  берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік.

Шешімі: Берілген функцияның бірінші ретті туындысын табсақ:

y′= 2x (1+С e x1) +x2 (0+С e x

(- 21x))=2x(1+С e x1)-Ce x1

у пен у′-ті теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ:

x2(2x(1+Сe x1)-Сe x1)+(1-2x)x2(1+Сe x1)=2x3+2x3Сe x1-Сx2e x1+x2+Сx2e x1-2x3--2Сx3e x1=x2

тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функцияның дифференциалдық теңдеудің шешімі жəне де кез келген бір С тұрақтысынан тұрғандықтан жалпы шешімі деп аталады.

Мысалы 4: y=Сex-e-x функциясы xy′′+2y′ =xy -екінші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі бола ма?

Шешімі: y′ пен у′′- ті табамыз:

у′=Сex+e-x ⇒ y′′ = Сex-e-x

y, y′,y′′ - мəндерін теңдеуге қойсақ:

x(Сex-e-x) +2(Сex+e-x) = x(Сex-e-x)

Сxex-xe-x +2Сex+2e-x=Сxex-xe-x

Сxex- xe-x+2Сex +2e-x-Сxex+xe-x=0 ⇒ 2(Сex+e-x)=0

Демек, кез келген 2(Сex+e-x) ≠ 0 болғандықтан y = Сex-e-x

функциясы берілген теңдеудің шешімі болмайды.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтау интегралдау есебі деп аталады.

Егер дифференциалдық теңдеудің шешімі теңдеудің ретіне сəйкес келетін тəуелсіз кез келген тұрақтылар санынан тұрса, онда ол жалпы шешімі деп аталады.

y= φ(х,с1, с2,..., сn) (3)

n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі.

Жалпы интегралдағы с1, с2,..., сn тұрақтыларының орнына мəндер қойып дербес шешімдер алуға болады.

 Жалпы шешімнен тұрақтыны есептеу теңдігі дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын береді. 

Айнымалылары ажыратылатын жəне ажыратылған

бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Дифференциалдық теңдеулердің дұрыс шешімдерін табу үшін

интеграл мен туынды тарауларына қайталап шолу жасауды қажет етеді.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 бірінші ретті теңдеу айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер P и Q функциялары тек бір ғана айнымалылардан тəуелді көпмүшеліктерге жіктелінсе жəне

f1(x)· f2(y)dx+φ1(y) ·φ2(y)dy=0  теңдеу мүшелерін f2(y)·φ1(х)-ке бөлсек айнымалылары ажыратылады.

Теңдеу мүшелерін интегралдай отырып ізделінді жалпы интегралды табамыз: 

Бірінші ретті сызықтық дифференциалды теңдеулер

y'+P(x)у=Q(x) түріндегі теңдеу у жəне оның у' туындысына қатысты сызықтық теңдеу деп аталады. Мұндағы Р(x) пен Q(x) х-тан тəуелді берілген функциялар.

Сонымен у'+Р(x)y =Q(x)- у-ке байланысты сызықтық теңдеу

х'+ M(y)x = N(y)-x-ке байланысты сызықтық теңдеу

у'+P(x)y = yn Q(x) немесе x'+P(y)x = Q(y)xn , n≠0, n≠1 түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады. Оның сызықтық теңдеуден айырмашылығы оң жақ бөлігінде у-тің белгілі бір дəрежесі енгізіледі де шешілуі сызықтық теңдеулердегідей жүргізіледі.

Кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер

F(x, y, y' , y" ,...y(n) = 0 (23)

n-ші ретті дифференциалдық теңдеу немесеy (n) = f (x, y, y' , y" ,..., y(n−1)  бас туындыға қатысты шешілген теңдеу деп аталады. 

      Дифференциалдық теңдеулер көбінесе динамикалық модельдеу аймағын зерттегенде көп қолданылады. Олар, ереже бойынша, уақыт өтуіне байланысты параметрлердің өзгеруін қарастырады (басқа жағдайлар болуы да мүмкін). Дифференциалдық теңдеулердің шешімдері сан емес функция болып табылады, сол себепті дифференциалдық теңдеулерді шешу қиынға түседі. Əсіресе бұл диффереренциалдық теңдеулердің жеке туындыларын тапқанда қиындық туғызады. Қарастырылып отырған əдістемелік нұсқауда бұл əдістер қарастырылмаған. Дифференциалдық теңдеулерді шешу əдістері модельдеуде жəне жеке жауап алу үшін ең маңызды болып табылады. Сандық əдістерді пайдаланғанда дифференциалдық теңдеулердің шешімдері dy/dx=f(x,y) немесе таблица түрінде беріледі, яғни x мəнінің y мəніне сəйкестігі беріледі. Есептің жауаптары қадамдық сипатта болады,

яғни бір немесе бірнеше бастапқы (x,y) нүктелер арқылы, сəйкесінше

келесі нүктелер табылады жəне т.с.с. Қатар жатқан екі нүкте арасындағы

қашықтық қадам деп аталады, яғни h=xi+1 +x .

Ең көп тарағаны x=x0, y(x0)=y0 түріндегі берілетін Коши есептері.

Мəндерін біле отыра шешу əдісі есептеуді жеңілдете түседі, яғни y1 x1 -ге

сəйкесінше y2 x2 -ге т.с.с . Басқа шешу жолдарының бірі – аралық нүкте

арқылы. Ол белгілі бір əдістермен, бастапқы шарттағыдай эквивалент

есептерге ұқсас шығарылады.

Дифференциалдық теңдеулерді шешудің екі класты əдісі бар: бір қадамды жəне көп қадамды.

Бір қадамды əдіс мынадай:

Yi+1= F[f(xi,yi)], фукцияның бір ғана нүктесін тапқанда, ал екі қадамды əдіс:

Yi+1 =F(yi-3, yi-2, yi-1, yi) тапқанда қолданылады. Сондықтан

көпқадамды əдіс «бастауыш» қасиетіне ие емес, яғни онымен Коши есебін

шығара алмаймыз, ол əрқашан бірқадамды əдіспен шығарылады. Көп

қадамды əдістің тағы бір кері қасиеті – қадам өзгерісін анықтай алмайды,

ал ол есеп жауабының нақтылығын көрсете түседі. Қадамдардың есеп

шешімінің дəлдігіне əсерін тигізетінін ескерсек, ал ол есеп жауабын

нақтылай түседі. Көп қадамды əдіс компьютердің төменгі сақтау

қабілеттілігімен теориялық баға бергенде əсерін тигізеді. Көп қадамды

əдістің көрсеткіші ретінде болжау жəне коррекциялау əдістері болып

табылады. Бір қадамды əдіс класына Эйлер, Рунге-Кутта əдістері жəне

тағы басқалар жатады.

Бір қадамды əдіспен шешкенде Тейлор қатары маңындағы

нүктелерді табу үшін роль атқарады, сəйкесінше, əдістің дəлдігі өрнек

бойынша, y нүктесінде орналасқан y нүктесі жəне f(xi,yi) нүктесіндегі

туындысы

h: y i+1 = yi+ Δyi қадамындағы функцияның мəнін табады.

сандық əдіспен жекелеген теңдеулер ғана шығарылады, бірақ теңдеулер

жүйесі (көбінесе бірінші ретті ), бір теңдеуді шешу түрінде кең тараған.

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеудің түрі :

y(n) =f(x,y,y’,yn ,…,y(n-1) );

айнымалыларды y1=y′ ,y2=yn ,y3=ym алмастыру арқылы шығарады. Осы

кезде n–ші ретті дифференциалдық теңдеу :

y′=y 1

y1′=y2

y2′=y3…..yn-1′ =f(x,y,y1,y2,…yn-1 ) .

Эйлер əдісі бірінші ретті дифференциалды теңдеуді y′=f(x,y) шешуге

арналған қарапайым əдістердің бірі. Ол көбінесе оқу мақсатында, практикалық есептеулерде үлкен роль атқарады. Есептеуіш алгоритм

төмендегідей көрсетіледі.

Yi+1 =y(xi+h)=yi + Δyi=yi+hf(xi,yi)

     

   Эйлер əдісінің графикалық кескінделуі берілген a1 , a2 бұрыштары

tga1=f(x0,y0), tga2=fΔy1=Δxf(x0,y0), Δy2= Δxf(x1,y1) функциясының есептеуіш

мəндері сəйкесінше анықталады.

Мысал 1. y′=2x2+2y түріндегі дифференциалдық теңдеуді шешу, шарттары

x0=0 y(x0)=1 h қадамы [0.1] интервалында жатсын.

бұл теңдеудің жауабы y=1.5e2x-x2-x-0.5 болып табылады.

Бірінші қадам:

y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1(2*0+2*1)=1.2.

Екінші қадам:

y2=y1+hf(x1,y1)=1.2+0.1(2*0.1+2*1.2)=1.442.

Бұл есептеуге келтірілген формуламен есептеу көп қиындық туғызбайды,

сондықтан қалған қалған мəндерін кесте түрінде көрсетейік .

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Нақты жауап            1      1,4977      2,2783       3,5202         5,4895       8,5836

Жуықталған жауап 1       1,4420      2,1041      3,1183         4,6747        7,0472

Дəлдікті айқындай түсу үшін екінші ретті Эйлердің модификация əдісі

қолданылады. Ол төмендегідей алгоритмде көрсетіледі

Yi+1=yi+0.5h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)].

Бұл формулада f(xi+1,yi+1) мəні белгісіз yi+1 мəнінде қолданылады. Бұл мəн

жуықтап табылған, мысалы, Эйлер əдісі, бірақ соңынан алгоритмде

қолданылады.

Есептеудің дəлдігін екі қайтара жүргізеді, алғашында xi нүктесіндегі h

қадамы анықталады. Y(xi+h)=y1

i+1, кейіннен осы xi+1 нүктесінде h/2қадамын y2i+1-мен алмастырады.

Егер екі жауапта / y i+1- y2i+1/ шегінде бар болса, жауап қабылданады, ал

егер жоқ болса тағы екі қадамға бөледі.