Дифференциал функции

 

                                        Дифференциал функции.

1. Определение дифференциала.
2. Свойства дифференциала.
3. Дифференциалы высших порядков.

 
 
 

1. Определение дифференциала функции.

 

           

Согласно определению  производной функции  

f(x)=  

Используя свойство предела, запишем это равенство  виде 

(1)        , где   при  , а

  -   приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента  

Из (1) находим, что         (2)

Таким образом, если функция f(х) имеет не равную нулю производную в точке , то приращение функции в этой точке состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое в формуле (2) является линейной функцией от ,  б.м. при . Оно называется главной частью приращения функции в точке  или дифференциалом функции f(x) в точке  и обозначается

Затем, что  dx=(x)’∆x=∆x. Поэтому дифференциал независимой переменной – это ее приращение. Тогда получим следующее выражение для дифференциала функции f(x):    

      (3) 

 

Формула (3) позволяет  вычислять дифференциалы функций, если известны их производные. 

Примеры:   а)                     

 б)    d(sinx+x)=(cosx+1)dx 
 

2. Свойства  дифференциала.

 

      

 Для дифференцируемых функций u=u(x) и v=v(x)  справедливы равенства

1. dc=0

2. d(uv±v)=du±dv

3. d(uv)=vdv+udv

4. d(u/v)=(vdu-udv) /v  

Доказательство   d(u±v)=(u±v)’dx=u’dx±v’dx=du±dv 
 

3. Дифференциалы высших порядков.

 

Итак, для дифференцируемой функции у = f(x) имеем  (1)   dy=f’(x)dx, т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: x  и dx  .  Считаем, дифференциал независимой переменной не зависит от х. Пусть функция y=f(x) имеет не только первую, но и n-1 последовательных производных  в некотором интервале (а;b) Тогда дифференциалом второго порядка назовем .

Аналогично дифференциалом n-ого порядка  называется дифференциал от дифференциала (n-1) –го порядка этой функции .

Покажем, что  для дифференциала n-го порядка справедлива формула                               

                  (2)

Индукция:  при     n=1 имеем dy=f’(x)dx

Пусть формула  верна для n-1, т.е.                            

       _.

_Тогда  

 

 

Вообще имеет  место символическая формула        

   , которая формально раскрывается по биноминальному закону .