Численное решение уравнения Лапласа

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО  «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» 
 
 
 
 
 

Кафедра электроники колебаний и волн 
 

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

студента 2 курса факультета нелинейных процессов 
 

Нефёдова  Ильи Юрьевича 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Научный руководитель:

профессор, д.ф.-м.н. _____________________________________ Короновский А. А. 

Зав. кафедрой электроники,

колебаний и  волн, чл.-корр.

РАН, профессор, д.ф.-м.н. ___________________________________Трубецков Д. И.  
 
 
 
 
 

Саратов, 2010 г. 

 

    Содержание  

1. Введение…………………………………………………………………………………..3
2. Постановка задачи………………………………………………………………………..4
3. Схема численного моделирования……………………………………………………....5
4. Решение тестовой задачи…………………………………………………………………7
5. Решение поставленной задачи…………………………………………………………...10
6. Вывод………………………………………………………………………………………13
7. Список литературы………………………………………………………………………..14

 

Введение.

    При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к дифференциальными уравнениями 2-ого порядка в частных производных эллиптического типа. Одним из самых распространенных уравнений этого типа является уравнение Лапласа:

                                                                                                               (1)

    Если  на границе Γ расчётной области D задана искомая функция, то соответствующая первая краевая задача для уравнения Лапласа называется задачей Дирихле:

                                                                             (2)

    В большинстве случаев такие уравнения  не имеют полного аналитического решения для требуемой краевой  задачи. Поэтому часто для решения  используются численные методы, в данном случае – «Метод конечных разностей и простых итерации», изучение и реализация которого является целью данной работы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Постановка  задачи.

    Решить методом сеток уравнение Лапласа внутри области D, задаваемой одной кривой:

    

    при заданных граничных условиях: .

    Решение будем производить в декартовой системе координат, хотя аналитически это уравнение решается в цилиндрических координатах. Выбор обусловлен простотой реализацией метода, так как конечно-разностная схема в декартовых координатах наиболее популярна, а также «привычной» формой записи уравнения Лапласа и лёгкостью анализа граничных условий.

 

    

    Схема численного моделирования.

    Для решения задачи Дирихле используется конечно-разностный метод, который основан на замене производных, входящих в уравнение Лапласа, соответствующими отношениями конечных разностей. Для достаточно малых значений h частные производные функции u(x,y) можно приближённо заменить отношениями разностей:

                                                (3)

    Такие же приближённые выражения можно  написать и для производных второго порядка, например:

    

    Заменяя для большей симметрии x+h через x, получим:

                                         (4)

    и аналогично

                                         .   (5)

    Таким образом, уравнение Лапласа  приближённо заменяется следующим разностным уравнением:

        (6)

    Уравнение (6) связывает между собой значения искомой функции в пяти точках.

    Для того чтобы решить задачу Дирихле  методом сеток, надо покрыть заданную область D квадратной сеткой с шагом h. Границу сеточной области следует выбирать так, чтобы она лучше всего приближала границу области D, при этом граничные точки сеточной области могут лежать как вне области, так и внутри неё. Неизвестными считаются значения функции u(x,y) во внутренних узлах сетки, для определения которых имеется система линейных уравнений (6). Решив эту систему, мы найдём приближённое решение задачи Дирихле.

    Так как число уравнений системы (6) весьма велико, и эта система симметрична, то её решение удобнее всего находить с помощью метода простой итераций (метод Якоби). Для этого, прежде всего, перепишем уравнение (6) в других обозначениях:

     ,                (7)

значение  функции u(x,y) в каждом узле сетки равно среднему арифметическому её значений в четырёх соседних узлах. После этого зададимся произвольной начальной системой значений u(x,y) во внутренних узлах сетки (0-система) и найдём средние арифметические значений этой системы, причём для некоторых узлов придётся использовать и известные значения u(x,y) в граничных узлах. Построенные средние арифметические будут давать первое приближение (1-система). Затем находим средние арифметические значений первой системы, опять используя для некоторых узлов известные граничные значения u(x,y), получим второе приближение (2-система) и т.д. Процесс Либмана прекращается, когда переход от (n-1)-ой системы к n-ой не даёт изменения в пределах нужной точности.

    Метод простых итераций для решения  СЛАУ, возникающей при аппроксимации  уравнения Лапласа, отличается довольно медленной сходимостью. Для ускорения процесса итераций разработано большое количество разнообразных приёмов, выбор которых определяется особенностью задачи, а также применяемыми вычислительными средствами.

    Скорость  сходимости этого метода определяется числом итераций, которое зависит от шага сетки. При малых значениях h число итераций:

      ^*                                                        (8),

    то  есть пропорционально числу узлов  . 
 
 

 

     Решение тестовой задачи.

    В качестве тестовой задачи мною было выбрано  граничное условие вида:

    

    Для её решения, собственно как и для решения поставленной задачи, была написана программа в среде программирования Delfi, в которой можно изменять параметры разностно-итерационного процесса, такие как число итераций и размер шага.

          Аналитическое решение  для данной задачи было получено из решения уравнения Лапласа на круге методом разделения переменных, и для данного граничного условия имеет вид:

                        U(x,y)=2;

    При помощи программного пакета Mathematica 7.0 были построены функции решения при разных количествах итераций и постоянном шаге h=0.021.

    

    Рис.1 N=1000.

    

    Рис. 2 N=10 000.

    

    Рис.3 N=30 000.

    

    Рис.4 N=100 000.

          Как видно из графиков, точность решения увеличивается  при увеличении числа итераций. На рис.3 видно, что максимальное отклонение от аналитического решения составляет примерно 0.00024, если ещё увеличить количество итераций, то отклонение стремится к нулю, и на рис. 4 мы видим полное совпадение с аналитическим решением. 

    

    Рис.5 Зависимость погрешности от числа итераций 
 
 

    Решение поставленной задачи.

    Также при помощи написанной программы  можно решить и задачу описанную выше, с граничными условиями:

    

    Аналитическое решение, и для этого краевого условия может быть получено методом  разделения переменных, но для этого  оно должно быть записано в цилиндрических координатах:

     ;                                                       (9)

    И применяя метод разделения переменных, мы получаем аналитическое решение для краевого условия (9):

     ,

правильность, которого не трудно проверить прямой подстановкой в уравнение Лапласа, записанного в полярных координатах, которое имеет вид:

     .

    Построенную функцию решения можно увидеть  на рис. 5.

    

    Рис.5 График функции аналитического решения. 

    Теперь  рассмотрим численное решение поставленной  задачи. Для наиболее точного решения, как мы уже увидели из решения  тестовой задачи, необходимо большое число итераций. И так, я получил решение поставленной задачи с различным числом итераций.

    

    Рис.6 N=1000.

    

    Рис.7 N=10 000.

    

    Рис.8 N=100 000.

Как мы убедились на примере тестовой задачи, при таком большом количестве итераций

N=100 000 решение полностью совпадает с аналитическим. Это подтверждается тщательным  изучением результатов итерационного процесса, которые дают максимальное  значение отклонения от аналитического решения ε = 0,0.

    Расчёты для обеих задач производились  при постоянном значении шага выбранного опытным путём, таким образом, чтобы  получить высокую точность решения  за достаточно короткое время расчёта (около 1 минуты), так как при уменьшении шага, для получения такой же точности, затрачивалось бы гораздо больше ресурсов ЭВМ, что приводило бы к увеличению времени расчёта. Экспериментально проверено, что при уменьшении шага в 2 раза, время увеличивалось примерно в 10 раз. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вывод.

          В данной курсовой работе был изучен численный метод решения уравнения в частных производных эллиптического типа – метод сеток, а в частности метод конечных разностей и метод Якоби. Была написана программа по реализации этого метода, получены и проанализированы результаты. 
 
 
 

 

     Список литературы.

1. Формалёв В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972
3. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980
4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965