Биномиаоьное распеределение

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k₁,k₂,…,k_n, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання k_j дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функція розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:

(1.15)

Числові характеристики розподілу:

    _(1.16)

1.9 Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі.

Дискретна випадкова величина ξ  називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: , де p — параметр, що визначає розподіл, .

Позначається  .

Функція розподілу має вигляд:

.     (1.17)

Числові характеристики

Математичне сподівання:

Mξ=0q+1p=p.       (1.18)

Дисперсія:

    (1.19)

 

 

2 Розрахункова частина

 

1. _{Розрахуємо теоретичне значення імовірності появи події А. Досліджувана подія А полягає в тому, що сума очок на двох гральних кубиках менша 5.}

_{Події А сприяють 6 елементарних подій з 36 можливих.}

 

Отже імовірність того що подія  А появиться в окремому експерименті рівна  , а імовірність того що подія А не появиться в окремому експерименті рівна .

2. Обчислимо ймовірність частоти появи події A в n експериментах за законом біноміального розподілу.

(2.1)

   (2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7) 

(2.8)

(2.9)

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0,28	0,39	0,23	0,078	0,015	0,0017	0,00011	0,0000036

 

3. Перевіримо правильність розподілу . Отже, розподіл пораховано вірно.
4. Обчислимо математичне сподівання і дисперсію.

(2.10)

5. Обчислимо функцію розподілу.

(2.11)

6. Побудуємо графік функції розподілу(рис 2.1).

Рисунок 2.1 –  Графік функції розподілу

 

7. Побудуємо графік розподілу(рис. 2.2).

Рисунок 2.2 –  Графік розподілу

8. Проведемо N=60 стохастичних експериментів (Nxn випробувань) результати запишемо в таблицю 2.1.

Таблиця 2.1 – Результати експериментів 

№ Експерименту	Кількість успіхів x
1	1
2	2
3	0
4	0
5	1
6	1
7	1
8	2
9	1
10	2
11	1
12	1
13	1
14	2
15	2
16	2
17	0
18	1
19	2
20	1
21	1
22	0
23	0
24	1
25	0
26	1
27	2
28	1
29	2
30	1
31	2
32	0
33	2
34	1
35	0
36	2
37	2
38	0
39	1
40	1
41	2
42	1
43	1
44	1
45	3
46	2
47	3
48	1
49	0
50	0
51	2
52	1
53	1
54	1
55	2
56	1
57	3
58	0
59	2
60	0

 

9. Знайдемо оцінку математичного сподівання :

    (2.11)

Порівняймо mξ з теоретичним  значенням математичного сподівання M:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Отже методи розрахунку теоретичних характеристик випадкової  величини є цілком вірними.

 

 

ВИСНОВОК

 

В результаті виконання курсової роботи було досліджено:

• дискретну випадкову величину;
• функцію розподілу дискретної випадкової величини і її властивості;
• математичне сподівання дискретної випадкової величини і його властивості;
• дисперсію дискретної випадкової величини і її властивості;
• початкові і центральні моменти вищих порядків дискретної випадкової величини;
• розподіли дискретної випадкової величини(біноміальний, Пуассона, Бернуллі, геометричний, гіпергеометричний, дискретний рівномірний розподіл).

А також розраховано  розподіл, функцію розподілу, математичне  сподівання та дисперсія дискретної випадкової величини . Проведено 60 стохастичних експериментів, знайдено оцінку математичного сподівання дискретної випадкової величини . Порівнявши теоретичні розрахунки з даними отриманими на основі проведених експериментів було підтверджено достовірність теоретичних методів розрахунку ймовірності, і числових характеристик випадкової величини . А також виявлено що найчастіше (приблизно у 40% випадків) випадкова величина набуває значення 1. 

СПИСОК  ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Каленюк П. І., Базилевич Л. Є., Баранецький Я. О., Ільків В. С., Киричинська І. Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. — Л.: Видавництво Національного університету Львівська політехніка, 2005. — 240 с.
2. Латынин С. Н., Латынина И. В. Введение в теорию вероятностей. — Донецк: Юго-Восток, 2006. — 210 с.
3. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика. — К.: Знання, 2007. — 556c. 
4. Тимченко Л. С., Кириллова Н. А., Гардер С. Е., Дубинина О. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. — Х.: НТУ ХПИ, 2006. — 179 с.
5. Федоренко Н.Д., Баліна О.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. — К.: КНУБА, 2007. — 104с.
6. Блудова Т. В. Теорія ймовірностей. — Л.: ЛБІ НБУ, 2005. — 318 с.
7. Бурачек В. Р. Основи теорії ймовірностей і математичної статистики для економістів. — Чернівці: Букрек, 2006. — 152 с.
8. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для вищ. навч. закл./Р. К. Чорней, О. Ю. Дюженкова, О. Б. Жильцов та ін.;За ред. Р. К. Чорнея. - К.:МАУП, 2003. - 328 с.
9. Барковський В. В., Барковськ Н. В., Лопатін О. К. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: НАУ, 1999. – 447 с.