Абелева група

  Абелева группа

  Определение: Абелева группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа абелева если , для . Групповой операцией обычно является сложение и обозначается «+»

  Данная группа названа в честь норвежского математика Абеля. Он родился в семье пастора. Детство Абеля было омрачено слабым здоровьем, а также пьянством и постоянными раздорами его родителей. Научная деятельность Абеля была очень внушительной, в алгебре он нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения вдохновляли труды Абеля. Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему. В теории рядов имя Абеля носят несколько важных теорем. Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. Коши, правда, опубликовал (1821) доказательство даже более общей теоремы: «Сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна», однако Абель в 1826 году привёл контрпример, показывающий, что эта теорема неверна: 

  Эта функция  периодична (с периодом ). В интервале она равна , однако на концах этого интервала терпит разрыв (равна нулю). Позднее Вейерштрасс исправил формулировку теоремы, введя понятие равномерной сходимости. К доказательствам самого Абеля чаще всего невозможно придраться и современному математику. В теории специальных, особенно эллиптических и абелевых функций, Абель был признанным лидером-основателем наряду с Якоби. Он первый определил эллиптические функции как функции, обратные эллиптическим интегралам, распространил их определения на общий комплексный случай и глубоко исследовал их свойства. Самая важная теорема Абеля об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно. Лежандр назвал это открытие «нерукотворным памятником» Абелю.

Примеры:

1. Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
2. Любая циклическая группа . Действительно для любых ,, верно что
3. Любое кольцо является абелевой группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
4. Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Свойства:

1. Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
2. Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n — натуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда nx можно определить как и
3. Множество гомоморфизмов   всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действидельно, пусть -два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g, заданная как (f + g)(x) = f(x) + g(x), тоже является гомоморфизмом(это неверно, если H некоммутативная группа).
4. Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп, зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.

Конечные  абелевы группы

 Определение:Конечнопоражденная абелева группа – это абелева группа, имеющая конечную систему порождающих.

Пусть G- конечнопоражденная абелева группа с операцией сложение и - система пораждающих.Тогда имеет вид , .

Примеры:

1)Целые числа являются конечнопорождённой абелевой группой.

2) Числа по модулю являются конечнопорождённой абелевой группой.

3) Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Определение: Система называется базисом абелевой группы , если каждый элемент имеет единственную запись 

Определение:Абелева группа, в которой есть базис из элементов, называется свободной абелевой группой ранга

1)Симметрическая  группа: -обозначение,элементы-это множество подстановки степени ,т.е биекция в это же множество.

-подстановка {1,2,…,n}}

Групповая операция- это композиция(или умножение)подстановок.

, причем если  , то -абелева

2)Общая линейная  группа: - обозначение

=(множество обратимых квадратичных матриц с коэффициентами из поля .Операция- умножение матриц.

Если ,то -абелева группа.

3)Ортогональная группа: -обозначение

Элементы: матрицы =(множество всех ортогональных матриц порядка ) Операция-умножение.

||=[2, , -абелева] 
 
 

Теорема.Абелева  группа A является свободной абелевой группой с базисом тогда и только тогда, когда  
 
 

 Теорема 1:Всякая конечная абелева группа G, не являющаяся нулевой группой, разлагается в прямую сумму примарных циклических подгрупп.

 Доказательство:  В группе G неприменно найдутся ненулевые элементы, порядки которых являются степенями простых чисел. Действительно, если некоторый ненулевой элемент x группы G имеет порядок , и если p^k,, есть такая степень простого числа p, на которую число делится 

 То элемент отличен от нуля и имеет порядок .

 Пусть (1) будут все различные простые числа ,некоторые степени которых служат порядками некоторых элементов группы G, имеющих своими порядками степени числа p.

 Множество P является подгруппой группы G. Действительно, в P входит элемент 0, так как его порядок есть . Далее если,то и . Наконец, если , и если, например ,то  

 Т.е порядком элемента служит число ,или делитель этого числа, т.е. во всяком случае, некоторая степень числа .

 Беря в качестве поочередно каждое из чисел (1),мы получим s ненулевых подгрупп

 (2)

 Группа G является прямой суммой этих подгрупп

  (3)

 Действительно, если x- произвольный элемент группы G, то его порядок может делиться лишь на некоторые простые числа из системы(1) 

 Где . Поэтому циклическая группа подгруппа {x} разлагается в прямую сумму примарных циклических подгрупп, имеющих соответственно порядок Эти примарные циклические подгруппы лежат в соответственных подгруппах(2) и, следовательно, элемент представляется в виде суммы элементов, взятых по одному во всех или некоторых из подгрупп (2). Этим доказано равенство 

 Возьмем любое  Тогда любой элемент из подгруппы имеет вид 

 Где элемент  , лежит в подгруппе , т.е. имеет порядок . Тогда 

 Т.е. порядок элемента служит некоторый делитель числа и, следовательно, элемент , если он отличен от нуля, не может содержаться в подгруппе . Этим доказано что 

Что и требовалось  доказать.