Теория массового обслуживания

Теория  массового обслуживания

Теория массового  обслуживания (теория очередей) (ТМО)— раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей

Теория массового  обслуживания впервые применялась  в телефонии, а затем в таких  областях хозяйственной деятельности, как транспорт, сфера услуг, торговля и т. д.

Сущность теории массового обслуживания состоит  в том, что на основе теории вероятностей разрабатывается оценка качества функционирования системы массового обслуживания (например, можно оценить работу системы кассовых аппаратов в  торговом центре или магазине).

ТМО определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.).

Общая постановка задачи массового обслуживания.

Имеется некоторая система, предназначенная для обслуживания поступающих в нее заявок или требований. Система располагает определенным количеством рабочих мест или средств обслуживания (каналы обслуживания). Поступление требований в систему и время их обслуживания носят случайный характер. При этом в системе возникают ситуации, когда:

либо образуется очередь требований в ожидании обслуживания;

либо простаивают  каналы обслуживания.

И то и другое приводит к увеличению издержек обслуживания. Чтобы не допустить неоправданного увеличения издержек, можно:

изменить среднее  количество требований, поступающих  в систему в единицу времени;

изменить количество каналов обслуживания;

изменить оба  параметра.

Для того чтобы  осуществить эти действия с максимальной эффективностью, необходимо изучить элементы системы массового обслуживания.

Перечень характеристик  систем массового обслуживания (СМО) можно представить следующим  образом:

среднее время  обслуживания;

среднее время  ожидания в очереди;

среднее время  пребывания в СМО;

средняя длина  очереди;

среднее число  заявок в СМО;

количество  каналов обслуживания;

интенсивность входного потока заявок;

интенсивность обслуживания;

интенсивность нагрузки;

коэффициент нагрузки;

относительная пропускная способность;

абсолютная  пропускная способность;

доля времени простоя СМО;

доля обслуженных  заявок;

доля потерянных заявок;

среднее число  занятых каналов;

среднее число  свободных каналов;

коэффициент загрузки каналов;

среднее время  простоя каналов.

 

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• магазины;

• банки;

• ремонтные  мастерские;

• почтовые отделения;

• посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта

автомобилей;

• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие

заявки или  требования на решение тех или  иных задач;

• аудиторские  фирмы;

• отделы налоговых  инспекций, занимающиеся приемкой и  проверкой текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции  и т. д.

Основными компонентами системы массового  обслуживания

любого  вида являются:

- входной поток поступающих  требований или заявок на обслуживание;

- дисциплина очереди;

- механизм обслуживания.

Раскроем содержание каждого  из указанных выше компонентов.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления

требований». Здесь могут  поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания.

Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

- первым пришел - первый  обслуживаешься;

- пришел последним — обслуживаешься первым;

- случайный отбор заявок;

- отбор заявок по критерию  приоритетности;

- ограничение времени  ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм  обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей  системы определяется количеством  и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев  основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

· вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

· вероятностным  распределением времени продолжительности обслуживания;

· конфигурацией  обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

· количеством  и производительностью обслуживающих каналов;

· дисциплиной  очереди;

· мощностью  источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи, могут выступать:

· вероятность  немедленного обслуживания поступившей заявки;

· вероятность  отказа в обслуживании поступившей  заявки;

· относительная и абсолютная пропускная способность системы;

· средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

· среднее время ожидания в очереди;

· средняя длина очереди;

· средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо  от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

· системы с  отказами, в которых заявка, поступившая  в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

· системы с  ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все  каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится  один из каналов.

Системы массового  обслуживания с ожиданием делятся  на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

• длина очереди;

• время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

• одноканальные  системы;

• многоканальные системы.

Приведенная классификация  СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

Предметом изучения теории массового обслуживания является система массового обслуживания (СМО).

Цель теории массового обслуживания — выработка  рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для  обеспечения высокой эффективности  функционирования СМО.

Для достижения этой цели решаются задачи теории массового  обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов  и их производительности и правил работы СМО.

В качестве характеристик  эффективности функционирования СМО  можно, выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели  эффективности использования СМО

• Абсолютная пропускная способность СМО — среднее  число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени.

• Относительная  пропускная способность СМО —  отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу  времени, к среднему числу поступивших  заявок за это же время.

• Средняя продолжительность  периода занятости СМО.

• Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели  качества обслуживания заявок

• Среднее время  ожидания заявки в очереди.

• Среднее время  пребывания заявки в СМО.

• Вероятность  отказа заявке в обслуживании без ожидания.

• Вероятность  того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

• Закон распределения  времени ожидания заявки в очереди.

• Закон распределения  времени пребывания заявки в СМО.

• Среднее число  заявок, находящихся в очереди.

• Среднее число  заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели  эффективности функционирования  пары «СМО — потребитель», где  под потребителем понимают всю  совокупность заявок или некий  их источник (например, средний доход,  приносимый СМО в единицу времени, и т.п.)

Отметим, что  третья группа показателей оказывается  полезной в тех случаях, когда  некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок, и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный  процесс.

Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае — моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае — состояние СМО).