Закон противоречия

Критика закона Брауэром

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик  Л. Брауэр. В начале этого века он опубликовал три статьи, в которых  выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и прежде всего закона исключенного третьего. Первая из этих статей не превышала трех страниц, вторая — четырех, а вместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведенное ими, было чрезвычайно сильным. Брауэр был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что между утверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое  входит этот объект, конечно, то можно  перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: «В данном множестве  есть объект с указанным свойством» или же: «В этом множестве нет  такого объекта». Закон исключенного третьего здесь справедлив. Но когда множество бесконечно, то объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не являются истинными. Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключенного третьего, — писал немецкий математик Д. Гильберт, — все равно что... запретить боксеру пользоваться кулаками». Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике — интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них — доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду. Интересно отметить, что еще до Брауэра сомнения в универсальной приложи мости закона исключенного третьего высказывал русский философ и логик Н.А. Васильев. Он ставил своей задачей построение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и закона противоречия. По мысли Васильева, логика, ограниченная подобным образом, не способна действовать в мире обычных вещей, но она необходима для более глубокого доне-мания логического учения Аристотеля.

Современники не смогли в  должной мере оценить казавшиеся им парадоксальными идеи Васильева. К тому же сам он склонен был  обосновывать свои взгляды с помощью  аргументов, не имеющих прямого отношения  к логике и правилам логической техники, а иногда и просто путано. Тем не менее, оглядываясь назад, можно сказать, что он оказался одним из предшественников интуиционистской логики.

3. Прочие законы

Законы двойного отрицания  позволяют снимать и вводить  такое отрицание. Их можно выразить так:

если неверно, что не- А, то А; если А, то неверно, что не- А.

Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», и наоборот.

Закон тождества

Самый простой из всех логических законов — это, пожалуй, закон  тождества. Он говорит:

если утверждение  истинно, то оно истинно, «если А, то А».

Например, если Земля вращается, то она вращается и т.п. Чистое утверждение тождества кажется  настолько бессодержательным, что  редко кем употребляется.

Древнекитайский философ  Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.

Закон тождества кажется  в высшей степени простым и  очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.

Закон контрапозиции

«Закон контрапозиции» —  это общее название для ряда логических законов,

позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.

Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так:

если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.

Например: «Если верно, что  число, делящееся на шесть, делится  на три, то верно, что число, не делящееся  на три, не делится на шесть».

Другой закон контрапозиции  говорит:

если верно, что  если не- первое, то не- второе, то верно, что если второе, то первое.

Например: «Если верно, что  рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что  публикуемая рукопись имеет положительный  отзыв». Или другой пример: «Если  нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».

Еще два закона контрапозиции:

если дело обстоит  так, что если А, то не- В, то если В, то не- А;

например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

если верно, что  если не- А, то В, то если не- В, то А;

например: «Если  не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Законы де Моргана

Именем английского логика XIX в. А. Де Моргана называются логические законы,

связывающие с  помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или».

Один из этих законов можно  выразить так:

отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не- А или не- В».

Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет  дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Другой закон:

неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В.

Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии.

На основе этих законов, используя  отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:

«А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,

«А или В» означает «неверно, что не-А и не-В».

Например: «Идет дождь  и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно  и не сыро».

Модус поненс и модус толленс

«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей  формы рассуждения. Далее будут  перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым  логикам.

Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания: Если А, то В; А – В

Здесь высказывания «если А, то В» и «А» — посылки, высказывание «В» — заключение. Горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:

Если у человека диабет, он болен.

У человека диабет.

Человек болен.

Рассуждение по правилу отделения  идет от утверждения основания истинного  условного высказывания к утверждению  его следствия. Это логически  корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия  истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умозаключение:

Если таллий — металл, он проводит электрический ток. 
Таллий — металл. 
Таллий проводит электрический ток.

Но внешне сходное с  ним умозаключение:

Если бы электролит был  металлом, он проводил бы электрический  ток. 
Электролит проводит электрический ток. 
Электролит — металл.

логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет.

Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения: Если А. то В; неверно В - Неверно А

Здесь высказывания «если А, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно А» — заключением. Другая запись:

Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.

Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия  осуществляется переход к отрицанию  основания. Например: «Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий — не металл».

По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводится некоторое эмпирическое утверждение А, то есть устанавливается условное высказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А. Из посылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-Т», то есть ложность теории Т.

С модусом толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:

Если А, то В; неверно А - Неверно В

В последнем умозаключении  от утверждения условного высказывания и отрицания его основания  осуществляется переход к отрицанию  его следствия, что является логически  некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:

Если бы глина была металлом, она была бы пластична. Но глина — не металл.

Неверно, что глина пластична.

Все металлы пластичны, и  если бы глина была металлом, она  также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого  очевидным образом не вытекает, что  глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.

Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия — нет.

Утверждающе-отрицающий и  отрицающе-утверждающий модусы

Утверждающе-отрицающим модусом  именуются следующие схемы рассуждения:

Либо А, либо В; А Неверно В и

Либо А, либо В; В

Неверно А

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не-В.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.

Посредством этих схем от утверждения  двух взаимоисключающих альтернатив  и установления того, какая из них  имеет место, осуществляется переход  к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба  вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге.

Он родился  в Москве.

Неверно, что Лермонтов  родился в Петербурге.

Связка «либо, либо», входящая в угверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с не исключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:

На Южном полюсе был  Амундсен или был Скотт.

На Южном  полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был  Скотт.

Обе посылки истинны: и  Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка — высказывание с «или»; вторая — категорическое высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания:

А или В; неверно А - В

или

А или В; неверно В - А

Другая форма записи:

А или В. Не-А. Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечною. 
Множество не является конечным. 
Множество бесконечно.