Логические формулы и операции. Виды и правила вопросов

Московский гуманитарно-экономический институт

Чувашский филиал

 

Факультет Экономика, бухгалтерский учет, анализ и аудит 

_{Дисциплина Логика} 

 

                                                                                    РЕФЕРАТ

                                    _{На тему    Логические формулы и операции. Виды и правила вопросов.}

 

 

Выполнила студентка заочного отделения

_{Курса 3  группы № 25-БЭС} 

 

                                             Волкова Анна Николаевна

(Ф.И.О.)

 

 

(подпись студента) (число, месяц, год)

Проверил:  

_{(ученая степень, звание)}

 

 

(Ф.И.О.)

Оценка  

_{Зачтено, не зачтено}

 

 

Подпись преподавателя Расшифровка подписи

«  »   200_ год

                                                                               _{Дата поступления работы в деканат}

 

 

г.Чебоксары 2009

 

 

Содержание:

1.Логические формулы…………………………………………………………………….3

2.Логические операции……………………………………………………………………10

3.В чем состоит  логическая сущность вопроса…………………………………………..12

4.Логическая  структура вопроса………………………………………………………….15

5.На какие виды делятся вопросы…………………………………………………….......17

6.Какие существуют  правила постановки вопросов…………………………………….21

7.Логическая  сущность и структура ответа……………………………………………….24

8.Литература…………………………………………………………………………………26

 

1.Логические формулы.

В формулах алгебры логики используются только логические переменные. Логические связки (И, ИЛИ) обозначают логические операции. Каждая формула  задает логическую функцию, которая  сама может принимать только одно из двух логических значений (0 или 1). То есть вместо выражения Е = А V В можно  написать F(A,B) = A V B и рассматривать  его как функцию двух переменных.

Мы рассмотрели основные логические операции двух переменных. Сколько же всего может быть различных  логических (т.е. двузначных) функций  от двух переменных? Попробуем ответить на этот вопрос.

Две переменные, каждая из которых  может быть либо нулём, либо единицей, образуют 2² = 4 различных набора значений: (0,0); (0,1); (1,0); (1,1). Для каждого набора сама функция может принять значение либо 0, либо 1. Например, F(0,0)=1; F(0,1)=1; F(1,0)=0; F(1,1)=0. Тогда всего различных функций двух переменных будет шестнадцать (4²=16).

Из таблицы видно, что  каждой функции соответствует её отрицание (константа 1 - отрицание константы 0).

Функцию можно задавать как  в виде формулы, так и в табличном  виде. Переход от табличного задания  к булевой формуле всегда возможен.

Сводная таблица  логических функций двух переменных

Значение Х	0	0	1	1
Значение Y	0	1	0	1
	Значение функции				Название функции	Обозначение функции
Функция 0	0	0	0	0	константа 0	F = 0
Функция 1	0	0	0	1	конъюнкция	F = X L Y
Функция 2	0	0	1	0	отрицание импликации XY	F= Ш(X Ю Y)
Функция 3	0	0	1	1	переменная Х	F = X
Функция 4	0	1	0	0	отрицание импликации YX	F= Ш(Y Ю X)
Функция 5	0	1	0	1	переменная Y	F = Y
Функция 6	0	1	1	0	отрицание эквивалентности	F= Ш(X Ы Y)
Функция 7	0	1	1	1	дизъюнкция	F= X V Y
Функция 8	1	0	0	0	отрицание дизъюнкции	F= Ш(X V Y)
Функция 9	1	0	0	1	эквивалентность	F = X Ы Y
Функция 10	1	0	1	0	отрицание Y	F = ШY
Функция 11	1	0	1	1	импликация YX	F = Y Ю X
Функция 12	1	1	0	0	отрицание Х	F = ШX
Функция 13	1	1	0	1	импликация XY	F = X Ю Y
Функция 14	1	1	1	0	отрицание конъюнкции	F = Ш(X L Y)
Функция 15	1	1	1	1	константа 1	F = 1

Любое высказывание или целое рассуждение можно подвергнуть  
формализации. Это значит отбросить его содержание и оставить только его логическую форму, выразив ее с помощью уже известных нам  
условных обозначений конъюнкции, нестрогой и строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.  
Например, чтобы формализовать следующее высказывание:  
«Он занимается живописью, или музыкой, или литературой», —  
надо сначала выделить входящие в него простые суждения и установить вид логической связи между ними. В приведенное высказывание входят три простых суждения: «Он занимается живописью», «Он занимается музыкой», «Он занимается литературой».  
Эти суждения объединены разделительной связью, однако они друг  
друга не исключают (можно заниматься и живописью, и музыкой,  
и литературой), следовательно, перед нами — нестрогая дизъюнкция,  
форму которой можно представить следующей условной записью:  
а / в / с, где а, в, с — указанные выше простые суждения. Форму:  
а / в / с, можно наполнить каким угодно содержанием, например:  
«Цицерон был политиком, или оратором, или писателем», «Он изучает английский, или немецкий, или французский», «Люди передвигаются наземным, или воздушным, или водным транспортом».  
Формализуем рассуждение: «Он учится в 9 классе, или в 10 классе, или в 11 классе. Однако, известно, что он не учится ни в 10, ни  
в 11 классе. Следовательно, он учится в 9 классе». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение и обозначим их  
маленькими буквами латинского алфавита: «Он учится в 9 классе  
(а)», «Он учится в 10 классе (в)», «Он учится в 11 классе (с)». Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию  
этих трех высказываний: а / в / с. Вторая часть рассуждения является отрицанием второго: в, и третьего: с, высказываний, причем эти два отрицания соединяются, т.е. связаны конъюнктивно:  
в / с. Конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше  
строгой дизъюнкции трех простых суждений: (а / в / с) / (¬ в / с),  
и уже из этой новой конъюнкции как следствие вытекает утверждение первого простого суждения: «Он учится в 9 классе». Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения выражается формулой: ((а / в / с) / (¬ в / с)) > а. Эту логическую форму можно наполнить любым содержанием. Например:  
«Впервые человек полетел в космос в 1957 г., или в 1959 г., или  
в 1961 г. Однако, известно, что впервые человек полетел в космос  
не в 1957 г. и не в 1959 г... Следовательно, впервые человек полетел  
в космос в 1961 г.» Еще один вариант: «Философский трактат  
«Критика чистого разума» написал то ли Иммануил Кант, то ли  
Георг Гегель, то ли Карл Маркс. Однако, ни Гегель, ни Маркс  
не являются авторами этого трактата. Следовательно, его написал Кант».  
Результатом формализации любого рассуждения, как мы увидели, является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые  
высказывания, и условных обозначений логических связей между  
ними (конъюнкции, дизъюнкции и др.). Все формулы делятся в логике на три вида:  
1. Тождественно-истинные формулы являются истинными  
при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (простых суждений). Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон.  
2. Тождественно-ложные формулы являются ложными при  
всех наборах истинностных значений входящих в них переменных.  
Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание  
тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.  
3. Выполнимые (нейтральные) формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.  
Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически безупречным. Если же результатом формализации  
будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически неверным (ошибочным). Выполнимая (нейтральная)  
формула свидетельствует о логической корректности того рассуждения, формализацией которого она является.  
Для того чтобы определить, к какому виду относится та или  
иная формула, и, соответственно, оценить логическую верность  
какого-то рассуждения, обычно составляют специальную таблицу  
истинности для этой формулы. Рассмотрим следующее рассуждение: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г. или  
в 1893 г. Однако известно, что он родился не в 1891 г. Следовательно, он родился в 1893 г.». Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г.». «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1893 г.». Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний: а / в. Далее к дизъюнкции присоединяется  
отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция: (а / в) / а. И, наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация:  
((а / в) / а) > в, которая и является результатом формализации  
данного рассуждения.  
Количество строк в таблице определяется по правилу: 2n, где n —  
число переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в  
нашей формуле только две переменных, то в таблице должно быть  
четыре строки. Количество колонок в таблице равно сумме числа  
переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных и четыре логических союза  
(/, /., >), значит, в таблице должно быть шесть колонок. Первые  
две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны).  
Третья колонка — это истинностные значения строгой дизъюнкции,  
которые она принимает в зависимости от всех (четырех) наборов истинностных значений переменных. Четвертая колонка — это истинностные значения отрицания первого простого высказывания: а.  
Пятая колонка — это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания, и, наконец, шестая колонка — это истинностные значения всей формулы,  
или импликации. Мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т.е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось  
о том, что отрицание также представляет собой двучленное сложное  
суждение):  
 
В четырех последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы. Для  
этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу, где была представлена таблица истинности сложных суждений (см. табл. 6), которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в  
математике). В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе ее части истинны или обе ложны; когда же одна ее часть  
истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому  
значения строгой дизъюнкции в заполняемой таблице (сверху вниз)  
таковы: «ложно», «истинно», «истинно», «ложно». Далее заполним  
четвертую колонку таблицы: а: когда утверждение два раза истинно  
и два раза ложно, тогда отрицание а, наоборот, два раза ложно и два  
раза истинно. Пятая колонка — это конъюнкция. Зная истинностные  
значения строгой дизъюнкции и отрицания, мы можем установить  
истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда,  
когда истинны все входящие в нее элементы. Строгая дизъюнкция и  
отрицание, образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только в одном случае, следовательно конъюнкция один раз принимает значение «истинно», а в остальных случаях — «ложно». Наконец, надо заполнить последнюю колонку: для импликации, которая и  
будет представлять истинностные значения всей формулы. Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним,  
что импликация ложна только в одном случае: когда ее основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является  
конъюнкция, представленная в пятой колонке таблицы, а следствием  
простое суждение (в), представленное во второй колонке. Некоторое  
неудобство в данном случае заключено в том, что слева направо следствие идет раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами. В первом случае (первая строчка таблицы, не считая «шапки») основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие  
ложны, значит, импликация истинна. В третьем случае и основание, и  
следствие истинны, значит, импликация истинна. В четвертом случае,  
как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит, импликация  
истинна.  
 
Рассматриваемая формула принимает значение «истинно» при  
всех наборах истинностных значений входящих в нее переменных,  
следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение,  
формализацией которого она выступает, логически безупречно.  
Рассмотрим еще один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: «Если какое-либо здание является старым, то  
оно нуждается в капитальном ремонте. Это здание нуждается  
в капитальном ремонте. Следовательно, это здание старое». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение: «Какое-либо здание является старым», «Какое-либо здание нуждается  
в капитальном ремонте». Первая часть рассуждения представляет  
собой импликацию: а > в, этих простых высказываний (первое является ее основанием, а второе — следствием). Далее, к импликации  
присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция: (а > в) / в. И наконец, из этой конъюнкции  
вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация: ((а > в) / в) > а, которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим табл. 8 ее истинности.  
 
В формуле две переменные, значит, в таблице будет четыре строчки; также в формуле три союза (>, /, >), значит, в таблице будет  
пять колонок. Первые две колонки — это истинностные значения переменных. Третья колонка — истинностные значения импликации.  
Четвертая колонка — истинностные значения конъюнкции. Пятая, последняя колонка — истинностные значения всей формулы — итоговой  
импликации. Таким образом, мы разбили формулу на три составные  
части, представляющие собой двучленные сложные суждения:  
 
 
Заполним последовательно три последних колонки таблицы  
по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т.е. опираясь  
на базисную таблицу истинности сложных суждений (см. табл. 6).  
Рассматриваемая формула принимает как значение «истинно»,  
так и значение «ложно» при различных наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является выполнимой (нейтральной), а рассуждение, формализацией которого  
она выступает, логически корректно, но небезупречно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке, например: «Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы. Слово «Москва» всегда пишется с большой буквы. Следовательно, слово «Москва» всегда  
стоит в начале предложения».

 

2.Логические операции.

Логические операции

, логические связки, логические  операторы, функции, преобразующие  высказывания или пропозициональные  формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные") слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более (менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в  отличие от кванторов, введение которых  знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой  элементарной части логики — в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица "не", конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция — как (неразделительное) "или", импликация É — как оборот "если..., то...", эквиваленция ~ — как оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения.

 

 

 

 

 

Тождественная истина

Тождественная ложь

P

Отррицание p

q

Отрицание q

Конъюнкция

Антиконъюнкция (штрих Шеффера)

Дизъюнкция

Антидизъюнкция

Эквиваленция

Антиэквиваленция

Импликация

Антиимпликация

Обратная импликация

Обратная антиимпликация

p

q

и

л

p

ù p

q

ù q

p&q

P÷q

pÚq

p q

p~q

p q

pÉq

p q

pÌq

pËq

и

и

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие  связки, содержательные аналоги которых  в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, "штрих Шеффера" ½ в нижеследующей таблице, где  приведён полный перечень всех двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых "исходных" высказываний р и q, в остальных — значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Поскольку в таблице сведены  все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие  всевозможным "четырехбуквенным словам" из "и" и "л", записанным по вертикали  в её столбцах, то естественно, что  среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще не зависят ни от каких "аргументов" — это константы "и" и "л" (понятно, что таких "нульместных" связок имеется ровно  ), далее идут "одноместных связок" (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

 

3.В чем состоит логическая сущность вопроса? 
  

  Необходимым звеном познавательного  процесса является вопросно-ответная  форма развития знаний. Постановка  вопросов и поиск информации  всегда выступает направляющим  началом в развитии познания. В результате закрепляются и  развиваются знания об окружающем  мире, а также осуществляется  целенаправленная их передача  от одного человека к другому. 
   Важная роль принадлежит вопросно-ответному комплексу в правовой сфере, особенно в судопроизводстве. Поиск ответов на вопросы, интересующие следствие и суд, составляет основное содержание допросов, следственных экспериментов, освидетельствований, очных ставок и других следственных действий. 
   Вопрос –  это логическая форма, включающая исходную информацию с одновременным указанием на ее недостаточность с целью получения новой информации в виде ответа. Например, чтобы оценить следственную ситуацию, следователю необходимо ответить на вопросы: а) какие обстоятельства, в какой мере установлены по делу и насколько ясна сущность расследуемого события? б) какие сведения об источниках других доказательств имеются в его распоряжении? в) насколько очевидны пути и способы дальнейшего расследования? 
   В естественном языке вопрос выступает чаще всего в виде вопросительного предложения, хотя не всякое вопросительное предложение является вопросом. Так, не являются вопросами риторические вопросительные предложения. Обладая некоторыми признаками вопросов, они не содержат при этом побуждения к ответу и по своей сути являются суждениями. Например, в риторическом вопросительном предложении «Какой он юрист?» содержится утверждение, что он не юрист или плохой юрист, а вовсе не вопрос. Кроме риторических, есть и другие вопросительные предложения, которые, также, не требуя ответа, вместе с тем не содержат и открытого сообщения. Они могут выражать, например, просьбу или предложение  –   «Не хотите ли чаю?», резкое побуждение   –     «Может быть, уступите место пожилому человеку?», требовательное запрещение  –   «Что за шум?», увещевание как разновидность призыва  –   «Ребята, не Москва ль за нами?» и пр. В то же время, вопрос может выражаться не только вопросительным предложением, но и повествовательным   –   «Расскажите, каким орудием были причинены телесные повреждения потерпевшему» или «Поясните, в каких документах вы фиксировали отпуск со склада материальных ценностей». Вопрос может выражаться и словосочетанием. Такая форма широко применяется в учебном процессе при формулировке вопросов, выносимых на занятия, зачеты и экзамены (например, «Основные этапы развития логики как науки» или «Правила деления понятия и возможные ошибки при их нарушении»). В социологических исследованиях, кроме этого, используются незаконченные повествовательные предложения, таблицы  незаполненными местами, множества вариантов ответов и т.д. 
   Термин «вопрос» в содержательном плане связан с терминами «проблема» и «проблемная ситуация». Проблема (от греч. problema   –    преграда, трудность, задача) –   вопрос или целостный комплекс вопросов, возникший в ходе познания. Не каждая проблема, однако, сразу же приобретает вид явного вопроса, так же как не всякое исследование начинается с выдвижения проблемы и кончается ее решением. Термин «проблема» означает такой вопрос, для ответа на который недостаточно имеющейся к данному моменту информации (знания). Вот почему проблему можно определить и как знание о незнании, осознанное незнание. Вопрос в этом случае выступает формой выражения проблемы, его задают в тех случаях, когда имеет место познавательная неопределенность. От проблемы принято отличать псевдопроблемы   –   вопросы, обладающие лишь кажущейся значимостью и не допускающие сколь-нибудь обоснованного ответа. Между проблемой и псевдопроблемами нет, однако, четкой границы. Проблемная ситуация –  это всякая ситуация, теоретическая или практическая, в которой нет соответствующего обстоятельствам решения, и которая заставляет поэтому остановиться и задуматься. 
   Следует также отличать вопрос от задачи и упражнения. Строгое разграничение здесь провести довольно трудно. В конкретных случаях вопрос нередко может выступать как задача, задача - как упражнение, а упражнение требует ответа на вопрос. И все же это не тождественные понятия. 
   Задача представляет собой установку, требование совершить какое-либо теоретическое или практическое действие в условиях неполной информации о его средствах и путях. Решение задачи обязательно предполагает поиск необходимой информации, выбор вариантов, комбинирование имеющихся элементов информации, возможных средств, способов действий. При этом вопрос является элементом задачи. 
   Задача обязательно содержит: 1) условие   –    «входные данные», информацию о явлениях действительности или положениях теории; 2) установку на действие с «входящими данными», на получение требуемого результата, выраженную обычно в форме одного или нескольких вопросов. 
Под упражнением понимается процесс формирования навыков путем многократного повторения каких-либо теоретических или практических действий. Вместе с тем в учебном процессе упражнением называют и ту задачу или задание, выполнение которых приводит к формированию соответствующих навыков. К упражнению также будут отнесены такие задачи, в которых менее выражен поисковый, комбинационный характер действий и которые служат преимущественно для тренировки памяти. Таковы некоторые особенности соотношения вопроса, задачи и упражнения.