Интуиционизм

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике. 

Для более  ясной формулировки интуиционизма  А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные  логические связки, употребляемые для  формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция  суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида  может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Таблица, показывающая допускаемые  логические средства и абстракции:

Теоремы и  принципы                                         Интуиционистская математика 

Закон исключённого третьего                                       нет

Закон двойного отрицания                                                     нет

Принцип Маркова                                                                    нет

Абстракция  актуальной бесконечности                        частично

Тезис Чёрча *                                                                   нет

Интуиционистская логика — классическая логика с исключённой аксиомой исключённого третьего. Изначально была разработана Арендом Хейтингом для того, чтобы предоставить формальный базис под теорию интуиционизма. Вместо понятия истинности интуиционистская логика оперирует понятием проверяемости трансформаций, проводимых над выражениями. С практической точки зрения интуиционистскую логику использовать крайне удобно, поскольку в ней имеется свойство существования, что позволяет использовать эту логику в качестве инструмента для других форм математического конструктивизма.

Синтаксис формул в  интуиционистской логике сходен с синтаксисом  логики высказываний или логики первого  порядка. Разница заключается в  том, что многие тавтологии этих классических логик не могут быть доказаны в  рамках логики интуиционистской. В классической логике оба выражения P→¬¬P и ¬¬P→P являются теоремами. В интуиционистской логике только первое выражение является теоремой: отрицание отрицания может быть выведено, но не может быть удалено.

Наблюдение о том, что многие классические тавтологии не являются теоремами в интуиционистской логике наводит на мысль о том, что система доказательства классической логики достаточно слаба.

В классической пропозициональной  логике (логике высказываний) возможно построить базис операций, который позволит определять одни операции через другие. Например, базисом являются три операции Лукасевича — конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Более того, существуют базисы, состоящие из одной операции, а потому перечисленные операции можно определить через такие однооператорные базисы. К ним, к примеру, относятся: стрелка Пирса (NOR — не ИЛИ) и штрих Шеффера (NAND — не И). Абсолютно также в классической логике первого порядка один из кванторов может быть определён через другой при помощи отрицания. 

Ниже приведены  фундаментальные формулы, при помощи которых операции определяются друг через друга. Все эти формулы  являются всего лишь булевскими функциями (в силу закона бивалентности). Но закон бивалентности не действует в интуиционистской логике, поскольку в ней принят закон непротиворечивости. В результате этого многие тождества из классической логики являются в логике интуиционистской всего лишь теоремами с одним направлением следствия (хотя некоторые остаются теоремами эквивалентности). Вот эти теоремы:

…..

Для разъяснения  можно рассмотреть следующие  примеры. В интуиционистской логике высказывание «a или b» является более сильным, нежели высказывание «если не a, то b», поскольку из первого следует второе, но не наоборот (в классической логике эти высказывания тождественны). С другой стороны, высказывание «не (a и b)» эквивалентно высказыванию «не a или не b», поскольку каждое из них может следовать из другого.

Семантика интуиционистской логики более сложна, нежели для классической логики. Теоретическая  модель может быть описана при помощи алгебры Хейтинга или эквивалентной нотацией в виде семантики Крипке. 

Интуиционистская  логика, форма логики предикатов, отражающая взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки  зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех  частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно  связаны с понятием математической бесконечности. 

  В соответствии  с концепцией интуиционизма, в Интуиционистская логика нет исключенного третьего принципа и закона снятия двойного отрицания. В качестве Интуиционистская логика обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов; ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему Интуиционистская логика в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко). Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра. 

  С развитием конструктивных направлений в математике и логике Интуиционистская логика нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в Интуиционистская логика и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением, возглавляемым советским математиком А. А. Марковым). 

Интуиционистская  логика построена в связи с  развитием интуиционистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским математиком и  логиком Л. Брауэром (1881-1966)2, но некоторые  ее идеи выдвигались и ранее. 

Интуиционизм - философское  направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуальной бесконечности, отвергающее  логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную  ясность и убедительность (“интуицию”) как последнюю основу математики и логики. Интуиционисты свою интуиционистскую математику строят с помощью финитных (конечных) средств на основе системы  натуральных чисел, которая считается  известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны - философскую  и математическую.

Особенности интуиционистской логики вытекают из характерных признаков  интуиционистской математики.

В современной классической математике часто прибегают к  косвенным доказательствам. Но их почти  невозможно ввести в интуиционистскую математику и логику, так как там  не признаются закон исключенного третьего и закон >а и которые участвуют  в косвенных доказательствах. Но закон непротиворечия представители как интуиционистской, так и конструктивной логики считают неограниченно применимым.

Интуиционистская  Логика

- одна из наиболее  важных ветвей логики неклассической, имеющая своей философской предпосылкой  программу интуиционизма. Выдвигая  на первый план математическую  интуицию, интуиционисты не придавали  большого значения систематизации  логических правил. Только в 1930 г. гол­ландский математик и логик А. Гейтинг — ученик создателя инту­иционизма Л. Брауэра - дал аксиоматическую формулировку И. л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И. л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд других законов логики классической, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду. Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И. л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься также как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью. В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И. л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание. Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как р, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если   и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q. Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается. И. л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике. Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались рус. математиками А. Н. Колмогоровым (1903-1985), В. И. Гливенко (1897-1910), А. А. Марковым (1903-1979), Н. А. Шаниным (р. 1919) и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература

Гейтинг А. Интуиционизм. — М.: Мир, 1965.

Вейль Г. О  философии математики. — М.-Л.: ГТТИ, 1934.

Клини С., Весли Р. Е. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций / Пер. с англ. — М., Наука, 1978. — 272 с.

http://www.i-u.ru/ - русский гуманитарный интернет университет. Прикладная логика. Непейвода.1996