Экономико-математические методы и модели в логистики

ВВЕДЕНИЕ

Курсовая работа состоит  в выполнении двух задач.

Первая из них - транспортная задача, связанная с оптимизацией издержек при перевозках. По условию  дана классическая транспортная задача линейной оптимизации закрытого  типа. Выполняется  построение математической модели задачи для того, чтобы убедиться, что она является сбалансированной. Для отыскания допустимого решения  задача решается методом северо-западного  угла или методом наименьшей стоимости, а для получения оптимального решения -  методом потенциалов. В дальнейшем ручной расчет модели будет использоваться в качестве контрольного примера.

Следующий этап - построение на основании математической модели электронной модели Excel и выполнение расчета модели, используя надстройку «Поиск решения». Затем сравниваются результаты расчетов, полученные при ручном счете и средствами Excel. Необходимо сравнить наилучший и наихудший план перевозок, используя поиск решения. Учитывая, что на практике редко встречаются задачи закрытого типа, в курсовой работе рассматриваются варианты, когда имеется излишек запасов или дефицит запасов, выполняется балансирование транспортной задачи и выполнение расчета уже сбалансированной модели средствами Excel.

Вторая задача - задача выбора оптимального плана перевозки груза  от одного поставщика к нескольким потребителям. Задачи такого типа решаются методами теории графов. В данном случае задача сводится к задаче определения кратчайшего пути на графе. Для ее решения предлагается использовать метод Дейкстры.

Целью выполнения курсовой работы является развитие навыков построения математических моделей типовых  задач, нахождение оптимального решения  путем использования математических методов, реализация расчетов моделей на компьютере, анализ модели.

ЗАДАЧА 1

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ (Вариант 6)

Производственная компания может закупить сырье для четырех  своих заводов у трех поставщиков. Стоимость перевозки сырья в  расчете на одну машину в таблице:

Табл. 1. Цены перевозок

	Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
Поставщик 1	1050	1200	1000	900
Поставщик 2	1100	800	1300	950
Поставщик 3	950	600	800	1100

 

Поставщики  готовы отгружать следующее количество сырья:

Табл. 2. Запасы продукции

	Поставщик 1	Поставщик 2	Поставщик 3
Мах отгрузка, маш./нед.	65	60	70

 

Недельные потребности  заводов составляют:

Табл. 3. Заказы клиентов

	Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
Потребность, маш./нед.	50	40	45	60

 

Составить план снабжения  заводов на неделю, исходя из минимума издержек.

Задания:

1. Составление транспортной таблицы.
2. Построение математической модели задачи.
3. Выполнение расчета модели, используя для получения допустимого решения метод северо-западного угла или наименьшей стоимости, а для получения оптимального решения метод потенциалов.

 

4.   Выполнение расчета модели в Excel, используя надстройку Поиск решения. Проверка ручного расчета модели и расчета модели, выполненном в Excel.

5.    Нахождение разницы между наилучшим и наихудшим планом перевозок.

Затем необходимо ответить на вопросы, подтверждая ответы расчетами, выполненными с помощью надстройки Поиск решения:

а) Возможны ли альтернативные решения?

б) После составления плана перевозок выяснилось, что, возможно, Поставщик 2 сможет отгружать на 8 машин сырья больше, чем планировал. Каким будет тогда план перевозок?

с) Выяснилось, что Поставщик 2 не сможет отгружать продукции больше, чем планировал, к тому же Поставщик 3 сможет поставлять на 6 машин сырья меньше, чем собирался. Каким будет тогда план перевозок? Какой завод недополучит продукцию?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 На основании исходных  таблиц составим транспортную таблицу (табл.4).

Табл. 4

Max отгрузка маш/нед.		Недельные потребности завода
		Завод 1	Завод 2	Завод 3		Завод 4
		50	40	45		60
		Стоимости перевозки ед груза
Поставщик 1	65	1050	1200		1000		900
Поставщик 2	60	1100	800		1300		950
Поставщик 3	70	950	600		800		1100

 

Для наглядности и простоты вычислений «вручную», стоимости перевозок, представленные в залитых цветом клетках таблицы, уменьшим в 100 раз, таким образом, они будут иметь  единицу измерения, равную 100 у.е. (табл. 4-а).

Табл. 4-а

Max.отгрузка маш/нед.		Недельные потребности завода
		Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
		50	40	45	60
		Стоимости перевозки ед груза
Поставщик 1	65	10,5	12	10	9
Поставщик 2	60	11	8	13	9,5
Поставщик 3	70	9,5	6	8	11

 

Пусть x_ij- количество продукции, отправляемой от поставщика i к клиенту j, i=, j=, а c_ij – стоимость перевозки единицы груза (x_ij≥0, c_ij≥0),

 

Тогда общая стоимость  перевозки равна

Z=*    (1)

 

             В силу ограничений на возможность поставок продукции со склада и спрос на него клиентов должны выполняться следующие условия (ограничения) (2):

• на количество продукции, которое нужно вывести с каждого склада:

x₁₁+ x₁₂+ x₁₃+ x₁₄=65

x₂₁+ x₂₂+ x₂₃+ x₂₄=60

x₃₁+ x₃₂+ x₃₃+ x₃₄=70

 

• на количество продукции, которое надо доставить клиентам (заводам):

x₁₁+ x₂₁+ x₃₁=50

x₁₂+ x₂₂+ x₃₂=40

x₁₃+ x₂₃+ x₃₃=45

x₁₄+ x₂₄+ x₃₄=60

Суммарное количество продукции  на складах:

 

Cуммарное количество продукции, заказанное клиентами (заводами):

 

Так как имеет место  равенство:

 

Транспортная задача является закрытой (с балансом). 

Решим задачу методом наименьшего  элемента:

Задача формулируется  следующим образом: определить такие  неотрицательные значения переменных , i=1,m, j=1,n, которые удовлетворяют ограничениям (2) и обращают в минимум целевую функцию (1).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение транспортной задачи состоит из двух этапов:

1. Определение допустимого решения (базисного решения).
2. Определение оптимального решения путем последовательного улучшения допустимого решения методом потенциалов.

 

Определение допустимого  решения методом наименьшей стоимости

На основе транспортной таблицы (табл. 4) построим вспомогательную таблицу (табл. 5), в верхнем правом углу каждой клетки которой будем записывать стоимости перевозки. Введем в таблицу  вспомогательную строку и столбец для записи остатков.

Определим клетку таблицы (табл. 5), которой соответствует наименьшая стоимость перевозки. Такая клетка одна: =6, поэтому, выбрав её, запишем:=min()=min(70,40)=40

Рассуждаем так: в S₃ имеется 70 единиц товара, в К₃ требуется 40. Организуем перевозку из S₃ в К₂, т.е. запишем в клетку значение х₃₂ = 40 (табл. 6). В S₃ осталось 70-40 = 30 ед. товара, спрос К₂ полностью удовлетворен. Остатки по строке и столбцу запишем в соответствующие клетки столбца и строки остатков: в S3 - 30, а в К₂ — О.Так как в столбце К₂ остаток равен нулю, этот столбец закрывается и далее не рассматривается (табл. 6).

 

Табл. 5

Остатки	Ki
	Поставщики	Заводы
Si		К1=50	К2 =40	К3 = 45	К4 = 60
	S1= 65	10,5	12	10	9
	S2 = 60	11	8	13	9,5
	S3 = 70	9,5	6	8	11

 

Табл. 6

Остатки	Ki		0
	Поставщики	Завод
Si		К1=50	К2 =40	К3 = 45	К4 = 60
	S1= 65	10,5	12	10	9
	S2 = 60	11	8	13	9,5
30	S3 = 70	9,5	6 40	8	11

 

В табл. 6 ищем клетку, в которой  записана наименьшая стоимость перевозки (за исключением клеток закрытого столбца К₂). Это клетка С₃₃. В нее запишем значение Х₃₃ = min (30, 45) = 30. Определим остатки для строки S₃ и столбца К₃. Остаток по строке S₃ равен 30-30 = 0, остаток по столбцу К₃ 45-30 = 15

Запишем их в соответствующие  клетки (табл. 7). Третья строка  становятся закрытой ,она в дальнейшим поиске не участвуют.

 

 

 

 

 

 

Табл. 7

Остатки	Ki		0	15
	Поставщики	Заводы
Si		К1=50	К2 =40	К3 = 45	К4 = 60
	S1= 65	10,5	12	10	9
	S2 = 60	11	8	13	9,5
30,0	S3 = 70	9,5	6 40	8 30	11

 

Среди оставшихся клеток, не принадлежащих закрытой строке или  закрытому столбцу (см. табл. 7), наименьшую стоимость перевозки имеет клетка С₁₄. Запишем в нее значение Х₁₄ = min (65,60) = 40. Остаток для строки S₁ =65-60=5, а для столбца К₄ = 60-60 = 0. Запишем их в соответствующие клетки. Четвертый столбец становится закрытым (табл. 8).

Табл. 8

Остатки	Ki		0	15	0
	Поставщики	Заводы
Si		К1=50	К2 =40	К3 = 45	К4 = 60
5	S1= 65	10,5	12	10	9 60
	S2 = 60	11	8	13	9,5
	S3 = 70	9,5	6 40	8 30	11