Раздаточная линия

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

 

 

 

Важнейшим недостатком этого определения  является использование неопределенного  понятия основания. Тейлор определил  пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке  и заканчивающаяся на различных  сторонах плоского основания”. После  этой формулировки разъясняется понятие  основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое  фигурировало в учебниках ХIХ  в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Еще в древности существовали два  пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка  к фигурам низшего. Такой точки  зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию - как границу поверхности, концы же линии - как точки. Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности. В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Пирамида и площадь ее поверхности

Определение. Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка. Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пирамиды.

Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды.    Отрезок SO - высота пирамиды.

Определение. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Измерение объемов

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и  цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли  путем умножения площади основания  на высоту. Однако древнему Востоку  были известны в основном только отдельные  правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В  более позднее время, когда геометрия  сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов  многогранников.

Среди замечательных греческих  ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали  теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.

Евклид не применяет термина  “объем”. Для него термин “куб”, например, означает и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как  непосредственное вычисление объемов  тел Евклид, вероятно, считал делом  практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного  характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда  и других пространственных фигур.

 

2.5. О пирамиде и ее объеме

Термин “пирамида” заимствован  из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова “пир” - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии  до н.э. египтяне сооружали ступенчатые  пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели  геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает  почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

В “Началах” Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах  площади оснований обратно пропорциональны  соответствующим высотам. Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского.

Интересно отметить, что в древних  документах встречаются правила  для определения объема усеченной  пирамиды, о нет правил вычисления объема полной пирамиды.

В “Московском папирусе” имеется  задача, озаглавленная “Действия  с усеченной пирамидой”, в которой  излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских  клинописных табличках также  не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. О  призме и параллелепипеде

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие  геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости  строить дома, дворцы, храмы и  другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются  свойства куба, призмы, параллелепипеда  и других геометрических тел и  пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения (“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как “прямая” означает у него и отрезок прямой.

Термин “призма” греческого происхождения  и буквально означает “отпиленное” (тело).

Термин “параллелепипедальное  тело” встречается  впервые у  Евклида и означает дословно “параллеле-плоскостное  тело”. Греческое слово “кубос”  употребляется Евклидом в том  же смысле, что и наше слово “куб”

 

 

 

 

2.7. Параллелепипед

Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.

В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой – параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Прямой  параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Рассмотрим  некоторые свойства параллелепипеда.

Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Дано: АС₁ (рис.    ) - произвольный параллелепипед, В₁D - его диагональ, точка О - середина этой диагонали.

Доказать: Z₀(AC₁) = AC₁.

Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z₀ с центром в точке О. Центральная симметрия - перемещение (сохраняет расстояния), отображающее каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому

B₁ = Z₀(D), B₁C₁ = Z₀(DA), DA = B₁C₁, C₁ = Z₀(A).

Аналогично  можно показать, что точки D₁ и В, А₁ и С также центрально-симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупространств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает пересечение фигур на пересечение их образов).

Таким образом, центральная симметрия Z₀ отображает параллелепипед на себя: Z₀(AC₁) = AC₁. Теорема доказана.

Из  теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:

1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Так, на рисунке     A₁O=OC, B₁O=OD, D₁O=OB, AO=OC₁, а также MO=ON, где M`A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, N`ABCD, O`MN.

2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Так, на рисунке     AA₁D₁D=BB₁C₁C, (AA₁D₁)П(BB₁C₁).

Рассмотренными  свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.

Дано: АС₁ - прямоугольный параллелепипед, чABч= a, чADч=b, чAA₁ч=c - его измерения, чAC₁ч=d - длина его диагонали.

 

 

Доказать: d²=a²+b²+c².

Доказательство. Введем систему координат так, как показано на рисунке        , приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c), и, следовательно,

 є

чAC ч ²= d²=a²+b²+c².

 

3. Симметрия в  пространстве

Теорема, в которой утверждается, что все  диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой.

Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С₁, В и D₁, С и А₁, D и В₁ симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса,  гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.

 

 

Литература

1. Глейзер  Г.Д. Геометрия. Учебное пособие  для старших классов. М., Просвещение, 1994.

2. Погорелов  А.В. Геометрия. Учебное пособие  для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.