Классификация точек разрыва

Классификация точек разрыва

Непрерывная функция  — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения  аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной  функции может быть начерчен «не  отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Определения

ε-δ  определение

Пусть   и  .

Функция f непрерывна в точке  , если для любого   существует δ > 0 такое, что

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C⁰ и пишут:   или, подробнее,  .

Комментарии

• Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.
• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x₀, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x₀, и этот предел совпадает со значением функции f(x₀).
• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Связанные определения

Точки разрыва

Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности  функции в точке (предельной для  области определения), то получится  следующее: Существует такая окрестность  значения функции в рассматриваемой  точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два  варианта:

• либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе —устранимая особая точка). Положив   можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется до определением по непрерывности.

• либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:
• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называютточкой разрыва второго рода.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .
• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .
• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .
• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция   непрерывна в точке  .

[править]Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции  , непрерывной на отрезке  , является отрезок   где минимум и максимум берутся по отрезку  .
• Если функция   непрерывна на отрезке   и   то существует точка   в которой  .
• Если функция   непрерывна на отрезке   и число   удовлетворяет неравенству   или неравенству   то существует точка   в которой  .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке   непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами   и  .
• Если функции   и   непрерывны на отрезке  , причем   и   то существует точка   в которой   Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные  функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция   задаваемая формулой

непрерывна в  любой точке   Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция  непрерывна в каждой точке  .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как  в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду  непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая  функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Основная  статья: Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция  является непрерывной всюду в  множестве иррациональных чисел ( ), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и  обобщения

Равномерная непрерывность

Основная  статья: Равномерная непрерывность

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого   существует δ > 0 такое, что | f(x₁) − f(x₂) | < ε для любых двух точек x₁ и x₂ таких, что | x₁ − x₂ | < δ.

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два  симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) > f(a) − ε для всякого  ;
• функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) <f(a) + ε для всякого  .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая  связь:

• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;
• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно допустить для  полунепрерывных функций бесконечные  значения:

• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;
• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство :  ( )

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая  линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва  функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости  функции по Риману).