Внешние запоминающие устройства

 

Вопрос №2

Возрастание и  убывание функции.

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ( a ;  b ) функция f была неубывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие  
                              для любого                

Аналогичным образом определяется необходимое и достаточное условие  невозрастания функции f :  

Эти теоремы являются важными  теоремами математического анализа.

Экстремумы.

Напомним, что в точке x ₀ функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x ₀ выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( x ₀ ) (минимум) или f  ( x ) ≥  f  ( x ₀ ) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f  ( x ) дифференцируема в точке x ₀ и достигает в ней экстремума, то  

График 3.2.2.1.

Теорема Ферма: касательная  к графику функции в точке  экстремума параллельна оси абсцисс.

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная  функции не существует или равна  нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x  = 0 функции y  =  x ³ не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная  функции равна нулю, называются стационарными  точками функции. Точки, в которых  производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками . Таким образом, все экстремумы являются критическими точками 

Теорема Ролля. Если функция f  ( x ) непрерывна на отрезке [ a ;  b ], принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале ( a ;  b ), то существует хотя бы одна точка такая, что  

В частности, между двумя  нулями дифференцируемой функции обязательно  лежит хотя бы один нуль ее производной.

Теорема Лагранжа. Если функция f  ( x ) непрерывна на отрезке [ a ;  b ] и дифференцируема на интервале ( a ;  b ), то существует хотя бы одна точка такая, что  

Модель 3.6. Теорема Лагранжа.

Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции  на отрезке [ a ;  b ] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [ a ;  b ] равна k , то f – линейная функция.

Если в точке x ₀ функции f и g равны, а производные этих функций, если они существуют, удовлетворяют на некотором отрезке [ x ₀ ;  x ₁ ] соотношению f  ′ ( x ) >  g ′ ( x ), то в каждой точке промежутка ( x ₀ ;  x ₁ ]   f  ( x ) >  g  ( x ).

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция дифференцируема  в некоторой окрестности точки x ₀, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x ₀. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x ₀ – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x ₀ – точка максимума.

Пусть – стационарная точка функции f  ( x ), и существует Если то – точка минимума; если то – точка максимума функции f  ( x ).

Так, производная функции f  ( x ) = | x | равна –1 при отрицательных x и +1 при положительных x . Функция | x | достигает в точке x ₀  = 0 своего минимума.

В точке x ₀  = 0 первая производная функции f  ( x ) = – x ² равна f  ′ ( x ₀ ) = –2 x ₀  = 0, а вторая производная f  ′′ ( x ₀ ) = (–2 x )′ = –2 < 0. Функция – x ²  + 3 достигает в точке x ₀  = 0 своего максимума.

График 3.2.2.2. График 3.2.2.3.

Заметим, что в точке x  = 0 функции y  =  x ⁴ вторая производная f  ′′ ( x ₀ ) = 0, однако эта точка является точкой минимума. Можно доказать, что если f  ′ ( x ₀ ) =  f  ′′ ( x ₀ ) =... =  f  ^{(2 n  – 1)}  ( x ₀ ) = 0 и f  ^{(2 n )}  ( x ₀ ) > 0 ( f  ^{(2 n )}  ( x ₀ ) < 0), то точка x ₀ является точкой минимума (соответственно, максимума).

 

Практическая  часть.

 

 

                         Список литературы.

• «Информатика: энциклопедический словарь для начинающих» составленный Д. А. Поспелов Москва 1994г.
• «Информатика. Учебник для ВУЗов» под редакцией профессора Н.В. Макаровой Москва 1999г.
• «Работы по теории информатики и кибернетики» К. Шеннон Москва 1963г.
• «Информатика для общеобразовательных учреждений» А. И. Сенокосов, А. Г. Гейн, В. Ф. Шолохович Москва 1998г.
• «Основы информатики и вычислительной техники» А. Г. Кушниренко, Г. В. Лебедев. Р. А. Сворень Москва 1993г.