Системы счисления

Системы счисления 

Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал подвергается кодированию (о кодировании см. в  разделе Кодирование сигнала). Большинство  кодов основано на системах счисления, причем использующих позиционный принцип  образования числа, при котором  значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.

Примером позиционной  формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т.е. просто три), а во втором – три  сотни (т.е. триста).

Тогда полное число получается по формуле:

где l – количество разрядов числа, уменьшенное на 1,

i – порядок  разряда,

m – основание  системы счисления,

ai – множитель,  принимающий любые целочисленные  значения от 0 до m-1, и соответствующий  цифре i-го порядка числа.

Например, для  десятичного (m = 10) числа 345 его полное значение рассчитывается по формуле:

3*102 + 4*101 + 5*100 = 345.

Римские числа  являются примером полупозиционной  системы образования числа: так, в числах IX и XI знак I обозначает в  обоих случаях единицу (признак  непозиционной системы), но, будучи расположенным слева от знака X (обозначающего  десять), вычитается из десяти, а при  расположении справа – прибавляется к десяти. В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.  

В современной  информатике используются в основном три системы счисления (все –  позиционные): двоичная, шестнадцатеричная  и десятичная. 

Двоичная система  счисления используется для кодирования  дискретного сигнала, потребителем которого является  вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1. 

Шестнадцатеричная система счисления  используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F. 

Десятичная система  счисления используется для кодирования  дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области  информатики (очевидно, что и любой  человек может выступать в  роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа  – цифры от 0 до 9. 

Соответствие  между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления  представлено в таблице перевода:

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и  шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

• для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 1010002 = 101000b = 101000B = 101000B = 101000b;
• для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак  H или h справа от числа. Например, 3AB16 = 3ABH = 3ABh = 3ABH = 3ABh.

Для перевода чисел  из одной системы счисления в  другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости  от формата числа – целое или  правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.