Системный анализ информационных систем

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ  ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»

 

ДЕКАНАТ ФАКУЛЬТЕТА ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

Заполняется студентом

Дисциплина

Экономико-математические методы и модели

(наименование согласно графику  учебного процесса)

Вид работы

Зачет

(наименование согласно графику учебного процесса: домашняя контрольная работа, аудиторная контрольная работа, экзаменационная работа, зачетная работа, классная контрольная работа)

Вариант

Дата  выполнения

(номер варианта или номера  вопросов и заданий)

(дата выполнения работы)

Группа

ПИ111сзи

(полное наименование группы)

Фамилия, имя, отчество студента

Минаев Анатолий Павлович

(фамилия, имя, отчество студента)

Заполняется преподавателем

Кафедра

(сокращенное наименование кафедры)

Фамилия, имя, отчество преподавателя

(фамилия, имя, отчество преподавателя)

Дата  проверки

Оценка

Подпись

(дата проверки)

(зачтено, не зачтено, 5 (отл.), 4 (хор.), 3 (удовл.))

(подпись преподавателя на бумажном  носителе)

Обоснование оценки

(обязательно при возврате работы  студенту)

 

14. Геометрический метод решения задачи линейного программирования. Область допустимых решений.

Математический  аппарат

Для понимания всего  дальнейшего полезно знать и  представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = 3.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т.е. для случая двух переменных x₁ и x₂. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме

(1)

 

Возьмём на плоскости  декартову систему координат  и каждой паре чисел (x₁,x₂)поставим в соответствие точку на этой плоскости.

 

 

Обратим прежде всего внимание на ограничения x₁ ≥0 и x₂ ≥ 0. Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть (рисунок 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида a₁ x₁ + a₂ x₂ ≤ b. Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству a₁ x₁ + a₂ x₂ = b. Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

Пусть b ≠ 0. Если взять x₁ = 0, то получится x₂ = b/a₂. Если взять x₂ = 0, то получится x₁ = b/a₁. Таким образом, на прямой лежат две точки (0, b/a₂) и (b/a₁, 0). Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (рисунок 2).

 

 

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение x₁ и вычислить соответствующее ему значение x₂.

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части a₁x₁ + a₂x₂ < b, а в другой наоборот a₁x₁ + a₂x₂ > b. Узнать, в какой полуплоскости, какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

Геометрическая  интерпретация задачи линейного  программирования

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

 

max f(X) = с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_пх_п (*)

при ограничениях

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n ≤ b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n ≤ b₂

……………………………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n ≤ b_m

х_j ≥ 0, j = 1, 2, …, n.

 

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. при п = 2. Пусть система неравенств (**), (***) совместна (имеет хотя бы одно решение):

 

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ≤ b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ ≤ b₂

…………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ ≤ b_m

x₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0.

 

Каждое неравенство этой системы  геометрически определяет полуплоскость  с граничной прямой а_i1х₁ + а_i2х₂ ≤ b_i i = 1, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x₁ = 0; х₂ = 0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Если в системе ограничений (**) - (***) n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого а_i1х₁ + а_i2х₂ + а_i3х₁ ≤ b_i, а условия неотрицательности — полупространства с граничными плоскостями соответственно x_i = 0 (i = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений.

Пусть в системе (**) - (***) п > 3, тогда  каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inх_n ≤ b_i i = 1, т , а условия неотрицательности — полупространства с граничными гиперплоскостями x_j = 0, j = 1, n.

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством  она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки  многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

Этапы решения графического метода задач  линейного программирования

Графический метод основан  на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется  в основном при решении задач  двумерного пространства и только некоторых  задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить  многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного  программирования задана в двумерном  пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Если в ЗЛП ограничения  заданы в виде неравенств с двумя  переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения  ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1.

Сначала на координатной плоскости x₁Ox₂ строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:

 

2

 

Не приводя строгих  доказательств, укажем те случаи, которые  тут могут получится.

1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рисунок 3а).
2. Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рисунок 3б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х₁ + х ₂ ≤ 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.

 

 

Наконец, возможен случай, когда неравенства (2) противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

 

Рассмотрим  теорию на конкретном примере:

Найти допустимую область  задачи линейного программирования, определяемую ограничениями

(1)

 

 

Решение:

1. Рассмотрим прямую –x₁+x₂ = 1. При x₁ = 0, x₂ = 0, а при x₂= 0, x₁= -1. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря x₁ = x₂ = 0, получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рисунок 4.а.
2. Рассмотрим прямую . При , а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как (4.б).
3. Наконец, рассмотри м прямую . Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.в.

Сводя все вместе и  добавляя условия х₁ ≥ 0,х₂ ≥ 0 получим рисунок 5, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1). Обратим внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.

Этап 2.

Вернёмся теперь к  исходной задаче линейного программирования. В ней, кроме системы неравенств, есть еще целевая функция с₁х₁+с₂х₂ =>max.

 

 

Рассмотрим прямую с₁х₁+с₂х₂ = L. Будем увеличивать L. Что будет происходить с нашей прямой?

Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с₁,с₂), так как это - вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции

f(х₁,х₂) = с₁х₁+с₂х₂ .

А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу

Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами.

Этап 3

Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (рисунок 7). В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области - как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

Рисунок 7