Основные характеристики и типы периодических сигналов

МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ

"ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"  
Факультет компьютерных наук

Курсовая работа по теории информационных процессов  и систем 
Основные характеристики и типы периодических сигналов 
 

Студент 2 курса 4 группы специальности  информационные системы (230200) 

 
 
 
 
Воронеж 2012

 

Содержание:

1. Введение

2. Сигналы

2.1. Основные понятия

3. Гармонические сигналы  и их характеристики

3.1. Частота и период

3.2. Временная функция  s(t)

3.3. Амплитуда и фаза

4. Полигармонические сигналы 

4.1. Определение

4.2. Представление в  виде функции

4.3. Представление в  виде рядов Фурье

5. Комплексный сигнал

5.1. Комплексная плоскость.  Вектор функции s(t)

5.2. Комплексная амплитуда

6. Заключение

7. Список литературы

 

1. Введение

В XVIII веке в теорию математики вошло понятие функции, как определенной зависимости какой-либо величины y от другой величины – независимой переменной х, с математической записью такой зависимости в виде у(х). Довольно скоро математика функций стала базовой основой теории всех естественных и технических наук. Особое значение функциональная математика приобрела в технике связи, где временные функции вида s(t), v(f) и т.п., используемые для передачи информации, стали называть сигналами.

Сигнал, в самом общем  смысле, это зависимость одной величины от другой, и с математической точки зрения представляет собой функцию. Наиболее распространенное представление сигналов - в электрической форме в виде зависимости напряжения от времени U(t). Так, например, сигнал изменения напряженности магнитного поля по профилю аэросъемки – это и временная последовательность изменения электрического напряжения на выходе датчика аэромагнитометра, и запись этого напряжения на ленте регистратора, и последовательные значения цифровых отсчетов при обработке лент регистратора и вводе сигнала в ЭВМ.

Сигнал - это информационная функция, несущая сообщение о  физических свойствах, состоянии или  поведении какой-либо физической системы, объекта или среды, а целью  обработки сигналов можно считать  извлечение определенных информационных сведений, которые отображены в этих сигналах (кратко - полезная или целевая информация) и преобразование этих сведений в форму, удобную для восприятия и дальнейшего использования.

 

2. Сигналы 
2.1. Основные понятия  
 
Классификацию сигналов можно осуществить с различных точек зрения. Ниже кратко пояснены некоторые понятия.

- Детерминированный сигнал – это сигнал, который в любое время определен однозначно и является воспроизводимым. Изменение сигнала можно заранее предсказать, используя его математическое описание.

- Стохастический сигнал – это сигнал в каждый отдельный момент изменяется случайным образом и может быть описан только статистическими законами. Математическое описание не дает возможности предсказать конкретные изменения сигнала.

- Периодический сигнал – это такой сигнал, который характеризуется равенством х (t + Т) = х , где Т — период. Время t может при­нимать любые значения от -∞  до   +∞. 
 
- Апериодическим сигнал - это в общем случае непериодический сигнал. В отдельных случаях это выражение будет использоваться для сигналов, не содержащих колебательной составляющей.

Каждый сигнал может относиться одновременно к нескольким видам.

Но рассмотрим подробнее  периодический сигнал. Такой сигнал является одновременно периодическим и детерминированным. В свою очередь периодический сигнал может быть гармоническим или полигармоническим.

Одним из наиболее часто  используемых типов детерминированных  периодических сигналов является гармоническое  колебание. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, гармоническое колебание наиболее просто технически воспроизвести; во-вторых, только гармонический сигнал, проходя через линейные цепи, сохраняет свою форму; в-третьих, большинство используемых в радиоэлектронике сигналов с помощью апяяяяпарата Фурье может быть представлено суммой гармонических составляющих.

 

 

 

3. Гармонические сигналы и их характеристики 
 
Гармоническое колебание аналитически можно записать как функцию косинуса или синуса. Чаще применяют функцию косинуса:

где A_m - амплитуда, ω₀ - частота, φ₀ - начальная фаза. Величина ( ω₀ t+φ₀ )=y (t) определяет полную фазу.

 

3.1. Частота и период

Частота и период гармонического сигнала связаны соотношениями:

где w₀ - циклическая частота, ее размерность радианы/сек, f ₀ -частота, число колебаний за секунду, ее выражают в герцах (Гц, Hz); 10³ Гц = 1 кГц (килогерц), 10⁶ Гц = 1 МГц (мегагерц), 10⁹ Гц=1 ГГц (гигагерц). Гармоническое колебание полностью характеризуется тремя параметрами: частотой (или периодом), амплитудой и фазой.

 

3.2. Временная функция s(t)

Функция s(t) определяет гармонический сигнал на временной плоскости (рис.1).

 

Рис. 1 «Функция s(t)»

 

 

3.3. Амплитуда и Фаза

Если в качестве оси  абсцисс выбрать частоту, а оси  ординат - амплитуду и фазу то можно получить представление гармонического сигнала на частотной плоскости, причем для удобства графики амплитуда - частота и фаза - частота рисуют отдельно (см. рис. 2).

 
 
 

 

 

 

Рис. 2 «Амплитуда» и «Фаза»

 

4. Полигармонические сигналы

4.1. Определение

Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:

s(t)=    A_n sin (2πf_nt+φ_n),  

4.2. Представление в виде функции 
 
Полигармонические сигналы так же можно описать в виде функции:  
 
s(t) = y(t ± kT_p),  k = 1,2,3,... 
 
где Т_р - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение f_p =1/T_p называют фундаментальной частотой колебаний. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (f_о=0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд A_n и фаз φ_n, с периодами, кратными периоду фундаментальной частоты f_p. Другими словами, на периоде фундаментальной частоты f_p, которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье).

 

4.3. Представление в виде рядов Фурье

Периодический сигнал любой  произвольной формы может быть представлен  в виде суммы гармонических колебаний  с частотами, кратными фундаментальной  частоте колебаний f_р = 1/Т_р. Для этого достаточно разложить один период сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям синуса и косинуса с шагом по частоте, равным фундаментальной частоте колебаний ∆f = f_p:

s(t) =  (a_k cos 2πk∆ft + b_k sin 2πk∆ft),

a_o = (1/T) s(t) dt,  a_k = (2/T) s(t) cos 2πk∆ft dt,

b_k = (2/T) s(t) sin 2πk∆ft dt.

Количество членов ряда Фурье K = k_max обычно ограничивается максимальными частотами f_max гармонических составляющих в сигналах так, чтобы f_max < K·f_p. Однако для сигналов с разрывами и скачками имеет место f_max , при этом количество членов ряда ограничивается по допустимой погрешности аппроксимации функции s(t).

Одночастотные косинусные и синусные гармоники можно объединить и представить разложение в более  компактной форме:

s(t) =  S_k cos (2πk∆ft-φ_k),

S_k = , ц_k = arсtg (b_k/a_k).

 

Рис. 3. Прямоугольный периодический сигнал (меандр).

 

Пример представления  прямоугольного периодического сигнала (меандра) в виде амплитудного ряда Фурье в частотной области приведен на рис. 1.1.8. Сигнал четный относительно t=0, не имеет синусных гармоник, все значения j_k для данной модели сигнала равны нулю.

 

5. Комплексный сигнал

5.1  Комплексная плоскость. Вектор функции s(t)

В соответствии с формулами  Эйлера действительный гармонический сигнал можно записать в виде

.

Сигнал вида  будем называть комплексным. В соответствии с теорией комплексных функций можно записать

и для любого момента  времени можно построить на комплексной  плоскости вектор функции   (рис.3), который называют векторной диаграммой.

Рис.4

 

5.2. Комплексная Амплитуда

Вектор вращается с  угловой скоростью ω. На рисунке показаны положения вектора в моменты времени t=0 и t₁  0. При ωt=2π вектор попадает в положение t=0. Поэтому обычно векторную диаграмму представляют для t=0, а вращение вектора обозначают скоростью вращения (см. рис. 4 ), сам же вектор отображают комплексным числом  , называемым комплексной амплитудой  ,т.е.

где точка над амплитудой отражает комплексный характер этой величины.

Рис. 5

Действительная часть  функции  есть проекция на действительную ось, т. е.

Если действительный гармонический сигнал представить  в виде суммы комплексных по формуле Эйлера, то для построения его комплексно-сопряженной части на частотной плоскости придется использовать и область отрицательных частот. Это показано на рис.5.

Рис. 6

Использование понятия  комплексной амплитуды гармонического сигнала значительно упрощает расчет электрических цепей. Метод, основанный на использовании этого понятия, называется методом комплексных  амплитуд.

 

 

 

 

 

 

6. Заключение

 

В этой курсовой работе я рассмотрел различные виды периодических сигналов, их характеристики, а также виды их представления.

 

В качестве примера периодических  колебаний можно привести гармонические  колебания – это простейшая форма  представления периодического сигнала. Такие колебания легко задать с помощью функции синуса или косинуса вида S(t)=Acos(ωt+φ),

где А – начальная амплитуда,  ω  – угловая скорость, φ – фаза.

 

Из  проделанной выше работы мы можем  сделать вывод, что периодические  сигналы очень важны и используются в таких отраслях промышленности и науки, как Нейронные Сети, Радиотехника,  Вычислительные Устройства и многие другие… 
7. Список литературы:

 
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1989.

3. Игнатов В.А. Теория информации и передачи сигналов. - М.: Советское радио, 1979.

4. Купер Дж., Макгиллем А. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. — М.: Мир, 1989.

5. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. — М.: Наука, 1982. — 416 с.

6. http://jstonline.narod.ru/rsw/rsw_b0/rsw_b0a0/rsw_b0a0c.htm

7. http://www.bourabai.kz/signals/ts0108.htm

8. http://www.aligators.ru/T6f.htm