Оценка сложных систем в условиях неопределенности

    Тема  работы: «Исследование сложных информационных систем в условиях неопределенности»

    Задание: «Выбрать наиболее оптимальную настройку блока бесперебойного питания в условиях больших скачков напряжения в офисе»

    Формулировка  проблемы: «В офисе одной из компаний находится несколько компьютеров с крайне важной информацией для отчетности, кроме того, эти компьютеры включены постоянно и не могут быть отключены (за исключением проведения профилактических работ, которые проводятся штатным технологом раз в месяц) ввиду некого постоянно запущенного процесса. Последние месяцы в офисе наблюдалась большая амплитуда скачков напряжения, что создает вероятность неожиданного, нежелательного, преждевременного отключения компьютеров (в результате поломки) от электрической сети, иными словами - вывода из строя оборудования. Для устранения этой проблемы штатный технолог принял решение усовершенствовать настройку блоков питания различных фирм-производителей.»

    Формулировка  задачи: «Оценить одну из 3-ех возможных настроек блока бесперебойного питания для устранения проблемы в рамках 5-ти видов состояния среды (в данном случае за состояние среды принимаем значения амплитуды скачков напряжения 180-200-230-250-280 Вольт).»

    Решение задачи:

    Принятие  решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий (в данной задаче-скачков напряжения) лицу, принимающему решение, неизвестны. В этом случае при выборе альтернативы принимаемого решения  (в данном случае-выбор одной из трех настроек блока бесперебойного питания) ЛПР руководствуется, с одной стороны, своим предпочтением, а с другой — соответствующим критерием выбора из всех альтернатив по составленной им «матрице эффективности».

    Основные  критерии, используемые в процессе принятия решений в условиях неопределенности:

1. Критерий среднего выигрыша. Предполагает задание вероятностей состояния обстановки. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.
2. Критерий Лапласа (достаточного основания). Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.
3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда). Это максимальный критерий. Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы. Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем. Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности.
4. Критерий «максимакса». Предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая из всех самых благоприятных вариантов развития событий (максимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из максимальных значений (т.е. значение эффективности лучшее из всех лучших или максимальное из максимальных). Критерий «максимакса» используют при выборе рисковых решений в условиях неопределенности, как правило, субъекты, склонные к риску, или рассматривающие возможные ситуации, как оптимисты.
5. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица). Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок.
6. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.
7. Критерий Байеса-Лапласа
8. Критерий минимума СКО
9. Критерий минимума энтропии
10. Критерий Гермейера
11. Комбинированный

    Определимся с матрицей эффективности. Для 5ти состояний  среды k_i (амплитуда скачков напряжения) существует 3 решения a_i. Предположим, что:

    a₁-повышающий напряжение эффект блока питания ББП (для 180В и 200В)

    a₂-понижающий напряжение эффект ББП (для 250В и 280В)

    a₃-универсальная настройка ББП (для 200В, 230В и 250В)

    Значения  в ячейках матрицы эффективности:

    0,1-очень  слабо справляется со скачками напряжения в сети

    0,2-довольно  слабо справляется со скачками напряжения в сети

    0,4-слабо  справляется со скачками напряжения в сети

    0,5-более менее справляется со скачками напряжения в сети

    0,6-справляется  в большинстве случаев со скачками  напряжения в сети

    0,7-хорошо  справляется со скачками напряжения  в сети

    0,8-идеально  справляется со скачками напряжения  в сети

    Условимся, что даже понижающая напряжение настройка блока питания в малой степени может справиться с малым напряжением в сети, и наоборот, повышающая настройка, ориентированная больше на падение напряжения в сети, все равно имеет некую возможность предотвратить выход из строя компьютеров в результате повышенного напряжения. Таким образом, любая из 3-ех настроек так или иначе в состоянии справиться со всеми случаями изменения напряжения, только в каких-то случаях более/менее эффективно.

    Составим  матрицу эффективности и заполним ячейки в соответствии с условленной  шкалой: 

 

    В нижней строке указали вероятности. Из этого следует что чаще всего напряжение подскакивает до 230В, гораздо реже подскакивает до 250В. Ну и совсем редко напряжение может упасть до 180В или 200В, либо подскочить до 280В. Таким образом, учитывая разные вероятности проявления среды, задача сводится к тому, чтобы определить, какую же настройку выбрать для единственного блока питания в офисе. Понижающую (учитывая что наиболее часто отмечается напряжение 230В), либо подстраховаться на случай падения и повышения и выбрать универсальную, убивая двух зайцев. Быть может, все таки остановить свой выбор на повышающей настройке, так как существует вероятность падения напряжения? Не все так очевидно как кажется на первый взгляд. Уверен, оценивая по критериям, мы придем к более менее оптимальному решению, и выберем самую подходящую настройку. 

    Критерий  среднего выигрыша: 
 
 
 
 

    Проведя расчет получили столбец: 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

    Критерий  Лапласа: будет совпадать с критерием среднего выйгрыша  
 

    Критерий  «осторожного наблюдателя» (Вальда): выбираем минимальный в строке, затем максимальный из полученного столбца, соответствующий оптимальному выбору. 

 
 

    Критерий  «максимакса»:выбираем максимальный из строки и затем максимальный из полученного столбца 

 
 

    Критерий  Гурвица:

К(a_i) = α max K_ij + (1− α) ∙ min K_ij

0≤ α  ≤1

Копт = max { α max K_ij + (1 + α) ∙ min K_ij}

α = 0.5 (не склоняемся ни к оптимизму не к пессимизму)

    Проводим  расчет и заполняем очередной  столбец: 

 
 
 
 

 

Оптимальному  решению будет соответствовать  максимальное значение из кранего правого столбца (0,8). 

    Критерий  Севиджа: берем максимальное значение из столбца и отнимаем из этого значения текущие, таким образом заполняем матрицу рисков: 

 

Оптимальному  решению будет соответствовать  минимальное значение из кранего правого столбца (0,4). 

    Критерий  Байеса-Лапласа: совпадает с критерием среднего выигрыша

    Критерий  минимума СКО:  

    Проводим  расчеты, результаты записываем в таблицу. Оптимальному решению будет соответствовать минимальное значение из столбца (0,61): 
 
 
 
 
 
 

    Критерий  минимума энтропии:

    Проводим  расчеты, результаты записываем в таблицу. Оптимальному решению будет соответствовать минимальное значение из полученного столбца (0,76): 

               

           
 
 

              

           
 
 
 

              

           
 
 

     Критерий  Гермейера:

     Пусть критерий полезности a=1, тогда вычитаем из единицы каждое значение матрицы, и умножаем на вероятности соответственно столбцам. Получаем матрицу, в которой необходимо сперва выбрать минимальные значения по строкам и записать в столбец. Оптимальному решению будет соответствовать максимальное значение из столбца (0,025):

     При a=1 получаем: 
 
 

     Перемножаем столбцы на вероятности, получаем матрицу: 
 

     Выбираем  минимальные значения по строкам, получаем столбец: 

     Добавляем полученный столбец в основную таблицу, и выбираем максимальное значение.

     Комбинированный критерий:

     Пусть критерий оптимизма-пессимизма λ=0,5. Проводим расчеты, результаты записываем в таблицу. Оптимальному решению будет соответствовать максимальное значение из столбца (0,805): 
 
 
 
 
 

     Проведя расчеты по всем критериям, следует  окончательно заполнить таблицу, и выбрать наиболее оптимальное из 3ех решений.