Інформація та інформатика

     В качестве примера определим количество информации на один знак при двоичном кодировании (т.е. при использовании алфавита, состоящего из двух знаков 0 и 1). Если считать, что со знаками 0 и 1 в двоичном алфавите связаны одинаковые вероятности их появления, то 

     I = log2 2 = 1 бит. 

Таким образом, количество информации (в битах), заключенное в двоичном слове, равно  числу двоичных знаков в нем.

   В вычислительной технике при определении  количества информации чаще используется объемный подход, суть которого в следующем.

     Как уже было отмечено, в двоичной системе  счисления знаки 0 и 1 называют битами (от английского выражения Binary digiTs – двоичные цифры). Создатели компьютеров отдают предпочтение именно двоичной системе счисления потому, что в техническом устройстве наиболее просто реализовать два противоположных физических состояния (некоторый физический элемент, имеющий два различных состояния: намагниченность в двух противоположных направлениях; прибор, пропускающий или нет электрический ток; конденсатор, заряженный или незаряженный и т.п.). В компьютере бит является наименьшей возможной единицей информации. Объем информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе информации подсчитывается просто по количеству требуемых для такой записи двоичных символов. При этом, в частности, невозможно нецелое число битов (в отличие от вероятностного подхода).

     Итак, если у нас есть один бит, то с  его помощью мы можем закодировать один из двух символов – либо 0, либо 1.

     Если  же есть 2 бита, то из них можно составить  один из четырех вариантов кодов: 00, 01, 10, 11 .

Если  есть 3 бита – один из восьми: 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111.

   Закономерность  очевидна: 1 бит – 2 варианта, 2 бита – 4 варианта, 3 бита – 8 вариантов, 4 бита – 16 вариантов. Продолжая дальше, получим: N бит – 2N (т.е. 2 в степени N вариантов).

     В обычной жизни нам достаточно 150 – 160 стандартных символов (больших и маленьких русских и латинских букв, цифр, знаков препинания, арифметических действий и т.п.). Если каждому из них будет соответствовать свой код из нулей и единиц, то 7 бит для этого будет недостаточно (7 бит позволят закодировать только 128 различных символов), поэтому используют 8 бит.

     Для кодирования одного привычного человеку символа в ЭВМ используется 8 бит, что позволяет закодировать 256 различных символов.

     Стандартный набор из 256 символов называется ASCII (означает «Американский Стандартный Код для Обмена Информацией» – англ. American Standart Code for Information Interchange). Он включает в себя большие и маленькие русские и латинские буквы, цифры, знаки препинания и арифметические действия и т.п.

     Каждому символу ASCII соответствует 8-битовый двоичный код.

     Для удобства использования введены  и более крупные, чем бит, единицы 84€количества информации. Так, двоичное слово из восьми знаков содержит один байт информации, 1024 байта образуют килобайт (кбайт), 1024 килобайта – мегабайт (Мбайт), а 1024 мегабайта – гигабайт (Гбайт). В информатике смысл приставок кило-, мега- и других в общепринятом смысле выполняется не точно, а приближенно, поскольку соответствует увеличению не в 1000, а в 1024 раза.

     Скорость  передачи информации по линиям связи измеряется в бодах (1 бод = 1 бит/с). В частности, если говорят, что пропускная способность какого-то устройства составляет 28 Килобод, то это значит, что с его помощью можно передать по линии связи около 28 тыс. нулей и единиц за одну секунду.

     Между вероятностным и объемным количеством  информации соотношение неоднозначное. Далеко не всякий текст, записанный двоичными символами, допускает измерение объема информации в кибернетическом смысле, но заведомо допускает его в объемном. Если некоторое сообщение допускает измеримость количества информации в обоих смыслах, то они не обязательно совпадают, при этом кибернетическое количество информации не может быть больше объемного. 

1.4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

     Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами.

     Все системы счисления можно разделить  на два класса: позиционные и непозиционные. В классе позиционных систем для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена табл. 1.1, содержащая наименования некоторых позиционных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа. 

1. Некоторые системы счисления

 

Основание   Система счисления     Знаки

     2   Двоичная         0, 1

     3  Троичная       0, 1, 2

     4   Четверичная        0, 1, 2, 3

     5   Пятеричная        0, 1, 2, 3, 4

     8   Восьмеричная        0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7

     10   Десятичная        0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

     12   Двенадцатеричная       0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В

16   Шестнадцатеричная     0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F

     В позиционной системе счисления  относительной позиции цифры  в числе ставится в соответствие весовой множитель, и число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления (весовой множитель): 

     AnАn–1An–2...A1A0,A–1 A–2 ... =

= AnBn + An-1Bn-1 + ... + A1B1 + A0B0 + A–lB–1 + A–2B–2+ ... 

(знак  «,» отделяет целую часть числа от дробной. Таким образом, значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными).

     Позиционная система счисления – система, в которой величина числа определяется значениями входящих в него цифр и их относительным положением в числе.

     Примеры: 

     23,4310 = 2 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10–1 + 3 ⋅ 10–2. 

     В данном примере цифра 3 в одном  случае означает число единиц, а  в другом – число сотых долей  единицы. Десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления.

     69210 = 6 ⋅ 102 + 9 ⋅ 101 + 2 ⋅ 100;

     11012 = 1 ⋅ 23+ 1 ⋅ 22+ 0 ⋅ 21+ 1 ⋅ 20 = 1310;

     1123 = 1 ⋅ 32 + 1 ⋅ 31 + 2 ⋅ 30 = 1410;

     341,58 = 3 ⋅ 82 + 4 ⋅ 81 + 1 ⋅ 80 + 5 ⋅ 8–1 = 225,12510;

     A1F,416 = А ⋅ 162 + 1 ⋅ 161 + F ⋅ 160 + 4 ⋅ 16–1 = 2591,62510.

     При работе с компьютерами приходится параллельно  использовать несколько позиционных  систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

     В общем случае, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В –

остаток даст следующий разряд числа и  т.д. Деления продолжают до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

     Целая и дробная части переводятся  порознь. Для перевода дробной части  ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть

произведения  необходимо вновь умножить на В. Целая  часть полученного числа будет  следующим знаком и т.д.

     Пример  перевода целой части:

     Остаток

25/2 = 12 (1),

     12/2 = 6 (0),

     6/2 = 3 (0),

     3/2 = 1 (1),

     1/2 = 0 (1).

     Таким образом: 2510 = 110012.

     Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной.

     Пример  перевода дробной  части:

     0,73 ⋅ 2 = 1,46 (целая часть 1),

     0,46 ⋅ 2 = 0,92 (целая часть 0),

     0,92 ⋅ 2 = 1,84 (целая часть 1),

     0,84 ⋅ 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

     Таким образом: 0,7310 = 0,10112.

     Над числами, записанными в любой  системе счисления, можно производить  различные арифметические операции.

     Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать следующие правила:

0 + 0 = 0;     0 ⋅ 0 = 0;

0 + 1 = 1;      0 ⋅ 1 = 0;

1 + 1 = 10;      1 ⋅ 1 = 1. 

     Необходимо  отметить, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы  в старший разряд – как и  в десятичной арифметике:

     1001

     +1101

     10110

     С точки зрения изучения принципов  представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой интерес. Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатеричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста – гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.