Из  определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от Друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Из определения  операции конъюнкции и отрицания  ясно, что высказывание x& всегда ложно. 

     3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

     Дизъюнкция  высказываний х, у обозначается символом x y, читается «x или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.

Логические  значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

     Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол Е острый» истинно, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол Е острый».

     В повседневной речи союз «или» употребляется  в различном смысле: исключающем  и не исключающем (жизнь или смерть). В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

     4. Импликация. Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

     Импликация  высказываний х, у обозначается символом х у , читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у — следствием или заключением, высказывание х у - следованием или импликацией.

Логические  значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

     Например, высказывание «Если число 12 делится  на 6, то оно делится на 3», очевидно, истинно, так как здесь истинна  посылка «Число 12 делится на 6» и истинно заключение «Число 12 делится на 3».  «Если 2 x 2=5,  то существует  баба  яга »

     Употребление  слов «если .,., то ...» в алгебре  логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как  правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х. Употребление слов «если ..., то ...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается. 

     5. Эквивалеация. Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания д:, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

     Эквиваленция  высказываний х, у обозначается символом х у, читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы y» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквиваленции. Логические значения операции эквиваленцин описываются следующей таблицей истинности:

     Например, эквиваленция «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда  SP=SQ» является истинной, так как высказывания «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный» и «В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ   SP = SQ » либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

     Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

6. Сложение  по  модулю  два  .

Функция  сложения по  модулю  два истинна тогда и только  тогда, когда значения  переменных различны.  

 
 
 

 

7. Стрелка  Пирса.

   Запись    читается  как «x  стрелка Пирса y».  Функция истина  тогда и  только тогда,  когда  ложны  обе  её переменные. 

   Cтрелка  Пирса  противоположна  дизъюнкции,  и  для неё справедливо: 

     

8. Функция Шеффера.

Запись  x|y   читается  как   «x   штрих Шеффера y». Функция  ложна  тогда и только  тогда,  когда  оба  значения  переменных истинны.

Штрих  Шеффера  противоположна   конъюнкции,  и  для  неё  справедливо:

 

ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

     С помощью логических операций над  высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками. Например, из трех высказываний х, у, г можно построить высказывания:

         и  

     Первое  из них есть дизъюнкция конъюнкции х, у, а второе высказывание есть импликация, посылкой которой является высказывание х, а  заключением - отрицание дизъюнкции высказывания у и конъюнкции высказываний х, z.

     Формулой  алгебры логики называется всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции.

     Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С, ...

     Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

     Логическое  значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.

     Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Например, для формулы    таблица истинности:

     Легко видеть, что, если формула содержит п элементарных высказываний, то она принимает   значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит  строк .

РАВНОСИЛЬНЫЕ  ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ  ЛОГИКИ

 

     Определение. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

     Равносильность  формул будем обозначать знаком , а запись А В означает, что формулы А и В равносильны.

Например, равносильны формулы:

     Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы:

        

      

     Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение О при всех значениях входящих в нее переменных.