Логические основы информатики

• Лабораторная работа № 6

Тема: «Логические основы информатики»

Цель работы: изучить терминологию и символику алгебры логики, а также разобраться с логическими операциями над высказываниями.

Порядок выполнения работы

1. Рассмотреть основные понятия алгебры логики высказываний.
2. Изучить правила применения логических операций над высказываниями.
3. Научиться находить значения логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Теоретические сведения

Логика – это раздел математики изучающий законы и формы мышления, а также методы установления истинности или ложности высказываемых суждений.

Основные понятия алгебры логики

Понятие	Описание
Высказывание истина – 1, +, «да», T (true – истина); ложь    – 0, –, «нет», F (false – ложь).	Суждение, выраженное повествовательным предложением, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания подразделяются на простые  и сложные (составные). Каждому высказыванию ставится в соответствие логическая переменная, обозначаемая прописной  буквой латинского алфавита. Например, высказывание А º «Клавиатура – устройство для ввода информации в системный блок» (А = 1) и В º «ВЗУ располагается внутри системного блока» (В = 0).
Логическая связка	Операция, позволяющая определить истинность составного высказывания, образованного простыми высказываниями.
Таблица истинности	Таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями составных высказываний.

 

 Логические операции над  высказываниями

Логическая операция	Название	Обозначение
Конъюнкция Логическое умножение	И	Ù, &, ·
Дизъюнкция Логическое сложение	Или	Ú, +
Инверсия Логическое отрицание	Не	¯, ﹁
Импликация Логическое следование	Если …, то …	→, ⇒
Эквиваленция Логическое отражение	Тогда … только тогда,   когда …	↔, ⇔

 

Таблица истинности логических операций

		Инверсия	Конъюнкция	Дизъюнкция	Импликация	Эквивалентность
А	В	﹁А	АÙВ	АÚВ	А⇒В	А⇔В
0	0	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
1	1	0	1	1	1	1

 

Логические операции имеют  следующий приоритет:

– действия в скобках;

– инверсия;

– конъюнкция;

– дизъюнкция;

– импликация;

– эквиваленция.

Практическая работа

Задание 1.

Найти значение логического выражения.

Пример: (﹁ 0 Ú ﹁ 1) Ù (1 Ù 0)

1). Вначале, к заключенному в  первых скобках сложному высказыванию, в соответствии с приоритетом логических операций,  применим операцию инверсии, т.е.: (﹁ 0 Ú ﹁ 1) = (1 Ú 0), а затем операцию дизъюнкции – (1 Ú 0) = 1. 

2). К сложному высказыванию, расположенному  во вторых скобках:  (1 Ù 0), применим операцию конъюнкции, что приводит к его значению – 0 (ложь).

3). В заключение, применим к рассмотренным  частям логического выражения  операцию конъюнкции и получим  окончательное решение: 

(﹁ 0 Ú ﹁ 1) Ù (1 Ù 0) = (1 Ú 0) Ù (0) = 1 Ù 0 = 0.

Ответ: 0 (ложь).

 

Варианты  к заданию 1.

1.	(1 Ú 1) Ú (1 Ú 0)	7.	(1 Ú 0) Ù (1 Ú 0) Ù (1 → 0)
2.	((0 Ù 1) Ù 1) л 0 Ú 1	8.	﹁ (1 Ù 1 Ú 0) ↔ (﹁ 1 Ú 1)
3.	((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1)) Ù (0 Ú 1)	9.	((1 Ú 0) л (1 Ù 1)) л (0 Ù 1)
4.	(0 Ú 1) → (1 Ù 1)	10.	((0 Ú 1) Ù 1) Ù 0 Ú 1
5.	(1 Ù 1 Ú 0) ↔ (﹁ 1 Ù 1)	11.	(1 Ú ﹁ 1) Ù (1 Ù 0)
6.	﹁ ((1 → 0) ↔ (1 Ù 1) Ú 1)	12.	((1 → 0) ↔ (1 Ù 1) Ú 1)

 

Задание 2.

Определить, какой из знаков: конъюнкции или дизъюнкции, необходимо поставить  вместо знака «?», чтобы логическое выражение (если это возможно) при  любых значениях высказываний А и В всегда принимала значение «истина».

Пример: (А Ù А) ? (﹁ В Ù ﹁ В).

1). Сложные высказывания, находящиеся  в скобках логического выражения,  при выполнении операций конъюнкции  могут иметь как значение «истина», так и значение «ложь». 2). Посмотрим  на вариант, когда оба сложных высказывания (А Ù А)  и  (﹁ В Ù ﹁ В) являются ложными. Из таблиц истинности видно, что логическое выражение в этом случае принимает значение «ложь» как при выполнении логической операции конъюнкция, так и при дизъюнкции. Следовательно,  предложенное логическое выражение не может принимать значение «истина» при любых значениях высказываний А и В.

 

 Ответ: Логическое выражение не может принимать значение только «истина».

 

Варианты  к заданию 2.

1.	(А Ú В) ? (﹁ В Ú В)	7.	(﹁ А Ú А) ? (﹁ В Ú ﹁ В)
2.	(А Ú А) ? (﹁ В Ú А)	8.	(А Ù А) ? (﹁В Ù ﹁ В)
3.	(А л А) ? (﹁ В Ú В)	9.	(﹁ А Ù ﹁ А) ? (﹁ В Ù ﹁ В)
4.	(﹁ А Ù ﹁ А) ? (﹁ В Ú В)	10.	(В Ú В) ? (А Ù А)
5.	(А Ù А) ? (﹁ В Ú ﹁ В)	11.	(﹁ А Ú ﹁ А) ? (﹁ В Ú ﹁ В)
6.	(﹁ В Ù ﹁ В) ? (﹁ А Ú В)	12.	(В Ù ﹁ А) ? (А Ú ﹁ В)

Задание 3.

Для исходной логической функции построить  таблицу истинности:

Пример: ((А Ù В) → (А → С)) Ú А.

1. Построение таблицы истинности начнем с ввода в таблицу возможных наборов значений исходных логических переменных А, В, С.
2. На втором шаге определим последовательность выполнения логических операций (приоритет). Для каждой части логического выражения выделим в таблице соответствующие столбцы.
3. Проведем заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

 

Ответ:

А	В	С	А Ù В	А → С	(А Ù В) → (А → С)	((А Ù В) → (А → С)) Ú А
0	0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1
1	0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

 

 

Варианты  к заданию 3.

1.	(А Ú В) Ù (А Ú С) Ù (В → С)	7.		(С Ú ﹁ А) Ú (﹁ В Ú А)
2.	((А Ù С) Ù ﹁ В) Ú (В Ù А)	8.		(﹁ А Ù В Ú С) ↔ ﹁ (В Ú А)
3.	((С Ú ﹁ В) Ù (А Ù С)) Ù (А Ú В)	9.		((В Ú В) л (С Ù С)) л (А л С)
4.	((В Ú А) Ù А) л (С Ú ﹁ С)	10.		(В Ù В) → ((А Ù А) л (С Ù ﹁С))
5.	(С Ù ﹁ А) Ú (﹁ В Ù А)	11.		(А Ù В Ú А) ↔ ( С Ù ﹁ С)
6.	((В Ù С) Ù (﹁ Ù А)) Ù (С Ú ﹁В)	12.		((﹁ А → В) ↔ (С л С) Ú В)

 

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятию «логика».
2. Что такое высказывание?
3. Приведите пример истинного простого высказывания.
4. Приведите пример ложного простого высказывания.
5. Что принято понимать под логической связкой?
6. Перечислите известные вам логические операции.
7. В какой последовательности принято выполнять логические операции над высказываниями:
8. Для чего предназначены таблицы истинности?