Исследование функций

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет МОРСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Кафедра Систем Автоматического Управления и Бортовой Вычислительной Техники

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «ИНФОРМАТИКА»

Тема: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы 3130

Бохан Г.В.

Проверил: доцент

Барашкова Елена Евгеньева

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014

Оглавление

Постановка задачи………………………………………………………………...3

1. Исследование функции. Нахождение точек перегиба…………………...4

1.1 Вычисление в табличной  программе………………………………4

1.1.1 Нахождение точек перегиба……………………………….4

1.1.2 Уточнение точек перегиба…………………………………4

1.2 Вычисление в математическом пакете…………………………….5

1.3Сравнение результатов……………………………………………….7

2. Решение нелинейных  уравнений……………………………………………8

2.1 Вычисление в табличной  программе………………………………8

2.1.1 Графический метод…………………………………………8

2.1.2 Уточнение корней методом половинного деления……9

2.2 Вычисление в математическом пакете……………………………10

2.3 Сравнение результатов……………………………………………...12

Выводы……………………………………………………………………………...13

Список литературы………………………………………………………………..14

Приложение………………………………………………………………………..15

Постановка задачи

1)Используя среду табличного процессора определить точки перегиба функции y=(x2-6*x+5)2 путем визуального просмотра таблицы значений второй производной. Если точки перегиба между точками исходной функции, то уточнить их позицию с помощью интерполяции. Построить график функции с целью доказательства правильности полученных результатов.

2)Воспользовавшись математическим пакетом представить функцию виде двух векторов, задающих абсциссы и ординаты точек функции. Создать функцию для нахождения значений второй производной. Вычислить значения второй производной, построить графики для функции и второй производной. Построить график функции, аппроксимированной сплайнами, и визуально определить позицию точек перегиба. Если точки перегиба между точками исходной функции, то уточнить их позиции.

3)Найти промежутки локализации  корней уравнения cos(3x)-5x-3=0 графическим методом

4)Уточнить корень уравнения  методом половинного деления  на промежутке [-1;0] с заданной точностью ε=0.01.

1. Исследование  функции. Нахождение точек перегиба

1.1 Вычисление  в табличной программе MS Excel

1.1.1 Нахождение точек перегиба

Задана функция y=(x2-6*x+5)2. Сначала находятся точки перегиба для заданной функции. Таблица значений функции и второй производной представлена на рисунке 1. Рассмотрев график второй производной на рисунке 2 можно визуально определить, что функция имеет одну точку перегиба. Эта точка находится между х=1,8 и х=1,9 и является точкой перегиба в силу того, что вторая производная меняет знак между этой и следующей точками.

Рисунок 1- Нахождение точек перегиба

Рисунок 2 – График второй производной для функции y=(x2-6*x+5)2

1.1.2 Уточнение точек перегиба

Следующим шагом выполняется уточнение точек перегиба. Уточнённые позиции точек перегиба вычисляются по формулам кубической интерполяции:

Нахождение точки перегиба с помощью табличного процессора можно увидеть на рисунке 3:

Рисунок 3 – Уточнение точек перегиба

Уточнённое значение абсциссы точки перегиба равняется 1,804

Если построить график рассматриваемой таблично заданной функции, то она будет иметь вид, изображённый на рисунке 4:

Рисунок 4 – График функции y=(x2-6*x+5)2

 

1.2 Вычисление  в математическом пакете

Создаётся два вектора, представляющие множество абсцисс и ординат таблично заданной функции. Исследуемая функция создаётся двумя векторами, изображенными на рисунке 5:

Рисунок 5 – Функция заданная векторами

Создаётся функция, описывающая нахождения матрицы значений второй производной:

Затем, с помощью встроенной функции matrix() описывается желаемая матрица

Матрица значений второй производной, изображённой на рисунке 6, создаётся следующим образом:

Рисунок 6 – Матрица значений второй производной

Таки образом можно увидеть, что точка перегиба находится справа от точки х=1.

График исследуемой функции имеет вид, представленный на рисунке 7:

Рисунок 7 – График функции y=(x2-6*x+5)2

График второй производной изображён на рисунке 8:

Рисунок 8 – График второй производной для функции y=(x2-6*x+5)2

Уточнённое значение абсциссы точки перегиба, полученное в математическом пакете, равняется 1,804

 

1.3 Сравнение результатов

И табличный процессор, и математический пакет показывают наличие точки перегиба и одно и то же значение х в точке перегиба – х равен 1,804

2. Решение нелинейных  уравнений

2.1 Вычисление в табличной программе

2.1.1 Графический метод

Задано уравнение cos(3x)-5x-3=0. Представим указанное нам уравнение в виде cos(3x)=5x+3. На рисунке 9 приведена таблица значений для заданного уравнения cos(3x)-5x-3=0 и функций cos(3x) и 5x+3.

Рисунок 9 – Таблица значений для уравнения cos(3x)-5x-3=0 и функций cos(3x) и 5x+3

 

Графики функций cos(3x) и 5x+3 представлены на рисунке 10

Рисунок 10 – Графики функций cos(3x) и 5x+3

 

Из рисунка 10 можно увидеть, что графики пересекаются в одной точке, принадлежащей промежутку [-1;-0.5]. Эта точка является корнем данного нам в условии уравнения. Таким образом, получен отрезок, который можно использовать для численного метода, уточняющего корни с заданной точностью.

 

График функции y=cos(3x)-5x-3 представлен на рисунке 11

Рисунок 11 – График функции y=cos(3x)-5x-3

 

2.1.2 Уточнение корней методом  половинного деления

Для уточнения корня данного нам уравнения используя табличный процессор Excel нужно для начала сформировать таблицу исходных данных. Затем сформировать расчётную таблицу, в которой в первом столбце вычисляется левая граница промежутка, причём первоначально она равна исходному значению (в дальнейшем это значение равно а или с  в зависимости от выполнения условия f(a)f(c)≤0). Во втором столбце должна вычисляться правая граница промежутка, первоначально она равна исходному значению b. В третьем столбце вычисляется середина интервала [a;b], т.е. точка c. В последующих двух столбцах указываются значения функции в точках а и с. В шестом столбце значение выражения f(a)*f(c). В последнем столбце выполняется проверка условия, если |b-a|<ε, то корень найден; в противном случае следует продолжать таблицу. В качестве итогового значения корня взять середину последнего полученного значения.

Реализация данного алгоритма изображена на рисунке 12 и имеет следующий вид:

Рисунок 12 – Метод половинного деления в табличном процессоре.

 Уточнённый корень уравнения, полученный методом половинного деления в табличном процессоре MS Excel, равняется -0,703

2.2 Вычисление  в математическом пакете

Для реализации этой задачи с помощью математического пакета необходимо описать функцию заданного уравнения, построить таблицы значений аргумента х и функции f(x) и построить график функции.

Реализация этой задачи показана на рисунке 13:

Рисунок 13 – Исследование функции y=cos(3x)-5x-3 и её график

 

Теперь нужно найти корни, используя метод половинного деления. Для начала нужно задать концы интервала и функцию. Потом проверить необходимое условие существования корня на заданном промежутке. Затем определить функцию для расчёта середины интервала. Задать функцию для вычисления интервалов в зависимости от выполнения условия f(a)*f(c)≤0. В конце найти значение на промежутке, длина которого меньше заданной точности.

Пример реализации данного метода можно увидеть на рисунке 14:

Рисунок 14 – Метод половинного деления в математическом пакете

Уточнённый корень уравнения, полученный методом половинного деления в математическом пакете, равняется -0,702 и отличается от полученного в MS Excel на заданную точность.

2.3 Сравнение результатов

Вычисленное значение корня в математическом пакете с точностью до 0.001 совпадает за значением, полученным в табличном процессоре. Количество операций также совпадает в обоих случаях и равно 9.

Выводы

Выполняя одно и то же задание, используя табличный процессор и математический пакет, получаются примерно равные ответы с небольшими погрешностями. При исследовании функции и нахождении точек перегиба более удобно использовать математический пакет. При решении нелинейных уравнений удобно использовать обе среды.

 

 

 

 

Список литературы

Курсовая работа по информатике (А.Ф.Высицкий, С.Н.Леора, Г.В.Проценко,А.В.Смольников,С.К.Шавинская.) СПбГМТУ 2004г.