Анализ программы, содержащей подпрограммы, циклы и ветвления

© К. Поляков, 2009-2013

B8 (повышенный уровень, время – 5 мин)

Тема:  Анализ программы, содержащей подпрограммы, циклы и ветвления.

Что нужно знать:

• операции целочисленного деления (div) и взятия остатка (mod)
• как работают операторы присваивания, циклы и условные операторы в языке программирования

Пример задания:

Ниже записан  алгоритм. После выполнения алгоритма  было напечатано 3 числа. Первые два  напечатанных числа – это числа 9 и 81. Какое наибольшее число может  быть напечатано третьим?

var x, y, z: integer;

 

    r, a, b: integer;

begin

  readln(x, у);

  if у > x then begin

    z:= x; x:= у; у:= z;

  end;

  a:= x; b:= y;

  while b > 0 do begin

    r:= a mod b;

    a:= b;

    b:= r;

  end;

  writeln(a);

  writeln(x);

  write(у);

end.

Решение:

1. сложность этой задачи состоит в том, чтобы разобраться в алгоритме
2. сначала вводятся два числа и переставляются так, чтобы в переменной x было наибольшее число, а в переменной y – наименьшее из двух:

  if у > x then begin

    z:= x; x:= у; у:= z;

  end;

3. затем исходные значения копируются в переменные a и b и с ними выполняется следующий алгоритм

  while b > 0 do begin

    r:= a mod b;

    a:= b;

    b:= r;

  end;

его суть сводится к тому, что меньшее из двух чисел, a и b, каждый раз заменяется на остаток от деления большего на меньшее до тех пор, пока этот остаток не станет равен нулю;

4. делаем вывод, что это классический Алгоритм Евклида, который служит для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел; это делитель в результате оказывается в переменной a
5. смотрим, что выводится на экран: сначала значение переменной a (наибольший общий делитель исходных чисел, НОД(x,y)), затем значение x (большее из исходных чисел) и значение y (меньшее из исходных чисел)
6. по условию первое число – 9, второе – 81, поэтому третье число должно быть меньше, чем 81, и НОД(81,y) = 9
7. наибольшее число, которое меньше 81 и делится на 9, равно 72 (обратите внимание, что исходные числа не могут быть равны, потому что в этом случае их НОД был бы равен 81)
8. ответ: 72

Ещё пример задания:

Ниже записана программа. Получив на вход число  , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:=L+1;

    if M < (x mod 10) then begin

      M:=x mod 10;

    end;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

 Решение:

9. для решения задачи необходимо понять, что делает эта программа
10. если это не видно сразу, можно выполнить ручную прокрутку для какого-то простого числа, например, для числа 251:

оператор	условие	x	L	M
readln(x);		251	?	?
L:=0; M:=0;			0	0
while x > 0 do…	251 > 0? да
L:=L+1;			1
if M<(x mod 10) then…	M <(251 mod 10)? да
M:=x mod 10;				1
x:=x div 10;		25
while x > 0 do…	25 > 0? да
L:=L+1;			2
if M<(x mod 10) then…	M <(25 mod 10)? да
M:=x mod 10;				5
x:=x div 10;		2
while x > 0 do…	2 > 0? да
L:=L+1;			3
if M<(x mod 10) then…	M <(2 mod 10)? нет
x:=x div 10;		0
while x > 0 do…	0 > 0? нет
writeln(L); write(M);			3	5

11. можно догадаться, что в результате работы программы в переменной L окажется число цифр числа, а в переменной M – наибольшая цифра, но это предположение нужно постараться доказать
12. нужно вспомнить (и запомнить), что для целого числа остаток от деления на 10 (x mod 10) – это последняя цифра в десятичной записи числа, а целочисленное деление (x div 10) отсекает последнюю цифру, то есть из 123 получается 12
13. рассмотрим цикл, число шагов которого зависит от изменения переменной x:

  while x > 0 do begin

    ...

    x:= x div 10;      { отсечение последней цифры }

  end;

здесь оставлены только те операторы, которые влияют на значение x

14. из приведенного цикла видно, что на каждом шаге от десятичной записи x отсекается последняя цифра до тех пор, пока все цифры не будут отсечены, то есть x не станет равно 0; поэтому цикл выполняется столько раз, сколько цифр в десятичной записи введенного числа
15. на каждом шаге цикла переменная L увеличивается на 1:

  L:=L+1;

других операторов, меняющих значение L, в программе нет; поэтому после завершения цикла в переменной L действительно находится количество цифр

16. теперь разберемся с переменной M, которая сначала равна 0; оператор, в котором она меняется, выглядит так:

  if M < (x mod 10) then begin

    M:=x mod 10;

  end;

учитывая, что x mod 10 – это последняя цифра десятичной записи числа, получается что если эта цифра больше, чем значение M, она записывается в переменную M; 

17. этот оператор выполняется в цикле, причем выражение x mod 10 по очереди принимает значения всех цифр исходного числа; поэтому после завершения циклам в переменной M окажется наибольшая из всех цифр, то есть наша догадка подтверждается
18. итак, по условию задачи фактически требуется найти наибольшее трехзначное число, в котором наибольшая цифра – 7; очевидно, что это 777.
19. ответ: 777.

Возможные ловушки и проблемы: это очень неплохая задача на понимание, тут достаточно сложно «вызубрить» метод решения, можно только освоить последовательность (системность) анализа ручной прокрутки в такой задаче недостаточно, по её результатам можно угадать алгоритм, но можно и не угадать; в критическом случае можно сделать ручную прокрутку для нескольких чисел им попытаться понять закономерность

 

Ещё пример задания:

Ниже записана программа. Получив на вход число  , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 120.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=1;

  while x > 0 do begin

    L:=L+1;

    M:= M*(x mod 8);

    x:= x div 8;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

 Решение:

1. для решения задачи необходимо понять, что делает эта программа; повторяя рассуждения из предыдущего примера, выясняем, что
1. переменная L с каждым шагом цикла увеличивается на 1
2. переменная x на каждом шаге цикла делится на 8 и остаток отбрасывается

поэтому можно сделать  вывод, что в конце цикла переменная L будет равна количеству цифр введенного числа, записанного в восьмеричной системе счисления; таким образом, восьмеричная запись числа содержит ровно 3 цифры

2. выражение x mod 8 – это последняя цифра восьмеричной записи числа; на каждом шаге цикла переменная M умножается на эту величину, поэтому в результате в M будет записано произведение всех цифр восьмеричной записи введенного числа
3. по условию это произведение равно 120, то есть , где a, b и с – числа от 0 до 7 (которые в восьмеричной системе счисления записываются одной цифрой)
4. поскольку нам нужно наибольшее число, перебираем делители числа 120, начиная со старшей цифры – 7; видим, что 120 на 7 не делится, поэтому такой цифры в восьмеричной записи числа нет
5. но 120 делится на 6, поэтому старшей цифрой может быть 6 – только в том случае, когда второй сомножитель можно представить в виде произведения двух чисел в интервале 1..6
6. делим 120 на 6, получаем 20; это число представляется как произведение 5 и 4, каждое из этих чисел записывается в виде одной восьмеричной цифры, то есть, они нам подходят
7. вспомним, что нас интересует максимальное число, поэтому цифры нужно выстроить в порядке убывания: 654₈
8. заметим, что мы получили число в восьмеричной системе, а ответ нужно дать в десятичной; переводим: 654₈ = 6·8² + 5·8¹ + 4·8⁰ = 428.
9. ответ: 428.

Возможные ловушки и проблемы: поскольку в цикле идет деление на 8, мы получаем цифры числа в восьмеричной системе; каждая из них должна быть в интервале 0..7 (не может быть 8 и 9) на последнем шаге нужно не забыть перевести число из восьмеричной системы в десятичную

 

 

Задачи для тренировки¹:

1. Ниже записана программа. Получив на вход число  , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:= L + 1;

    M:= M + x mod 10;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

2. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 8.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:= L + 1;

    if x mod 2 = 0 then

      M:= M + x mod 10;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

3. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 0.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

   L:= L + 1;

    if x mod 2 = 0 then

      M:= M + x mod 10;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

4. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 8.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:= L + 1;

    if x mod 2 = 1 then

      M:= M + x mod 10;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

5. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:= L + 1;

    if x mod 2 = 0 then

      M:= M + (x mod 10) div 2;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

6. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:= L + 1;

    if x mod 2 = 1 then

      M:= M + (x mod 10) div 2;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

7. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:=L+1;

    if M < x then begin

      M:=x mod 10;

    end;

    x:= x div 10;

  end;

  writeln(L); write(M);

end.

8. Ниже записана программа. Получив на вход число , эта программа печатает два числа, и . Укажите наибольшее из таких чисел , при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 8.

var x, L, M: integer;

begin

  readln(x);

  L:=0; M:=0;

  while x > 0 do begin

    L:=L+1;

    if (M < x) and (x mod 2 = 0) then begin

      M:=x mod 10;

    end;