Определение вероятностного закона распределения наработки до отказа

 

 

 

3) Резервированная система при  раздельном постоянном резервировании  каждой части. Структурная схема  такой системы – на рис. 7. Определим  функцию надежности и построим  ее график (рис. 9):

 

     - функция надежности  первой части,

    

     - функция надежности  второй части,

 

- функция надежности всей системы.

 

рис 7.

Рассчитаем среднюю наработку  до отказа:

 _{тыс.  часов.}

 

 

 

4) Резервированная система при  общем резервировании замещением каждой части. Структурная схема такой системы – на рис. 8. Определим функцию надежности и построим ее график (рис. 9):

рис 8.

- функция надежности первой  части,

- функция надежности второй  части,

 

- функция надежности всей системы.

 

Рассчитаем среднюю наработку до отказа:

Средняя наработка до отказа первой части:

_{тыс. часов}

 

 

 

Средняя наработка до отказа второй части:

_{тыс. часов}

 

 

 

Средняя наработка до отказа всей системы:

_{тыс. часов}

 

 

 

График функции надежности четырех  видов резервирования:

                       рис 9. t (тыс. часов)

 

Далее представим аналитические результаты расчетов заданных функций в табличном  виде:

 _{тыс.  часов}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Расчитаем выигрыш по функции надежности для наработки

1) Выигрыш системы общего постоянного резервирования:

 

 

2) Выигрыш системы раздельного  постоянного резервирования:

 

 

 

3) Выигрыш системы общего резервирования  замещением:

 

 

Рассчитаем выигрыш по величине средней наработки до отказа:

1) Выигрыш системы общего постоянного резервирования:

 

 

2) Выигрыш системы раздельного  постоянного резервирования:

 

 

3) Выигрыш системы общего резервирования замещением:

 

 

 

Задача №4

Дано:

По опытным данным установлен вариационный ряд наработок до отказа в часах  T_i (вариант 7):

8	22	32	41	45	55	56	61	64	69
72	75	77	79	81	83	84	86	90	91
94	95	96	97	102	110	112	116	117	118
124	128	130	137	144	149	159	170	175	194

 

Требуется:

1) Построить гистограмму f_j, разбив диаппазон наработок на 10 интервалов по 20 часов.

2) Определить вероятностный закон распределения наработки до отказа, используя критерий , задавшись доверительной вероятностью 0,9; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999.

3) Определить доверительный интервал для средней наработки до отказа с учетом найденного закона распределения и принятой выше доверительной вероятности.

 

Решение:

1) Для построения гистограммы f_j составим программный блок:

а) выборку T_i объемом N=40 разделим на 10 интервалов величиной

 _часов

 

б) определим по данным этой выборки число изделий , оказавшихся в j-м интервале с помощью программного блока.

в) расчитаем  точечные оценки функции плотности распределения вероятностей;

г) построим гистограмму (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проверка

 

 

 

 

 

Рис. 10. Ось Оу (1/час); Ось Ох (час).

 

2) Определение вероятностного закона  распределения наработки до отказа.

_{округляем до}

Вычислим минимальное число интервалов К и их длину :

 

 

 

найдем значения для каждого интервала и рассчитаем точечные оценки функции f_j:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_до

Построим гистограмму (рис. 11) в диапазоне от

_{с числом интервалов К=7}

 

Рис. 11. Ось Оу (1/час); Ось Ох (час).

 

 Судя по изображению полученной  гистограммы, можно предположить, что распределение подчиняется нормальному закону. Рассчитаем Р_j  - теоретическую безусловную вероятность попадания случайной наработки в j-й интервал в случае усеченного нормального распределения наработки до отказа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция распределения вычисляется по формуле:

 

 

Тогда теоретическая вероятность Р_j:

 

 

Изобразим график функции Р(t) в виде гистограммы и в виде непрерывной (апроксимированной) линии (рис.12).

 

Рис. 12. Ось Ох (час).

 

 

Вычислим наблюдаемое значение расхождения (критерий согласия) U_nabl.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По таблице квантилей распределения найдем критическое значение меры расхождения U_kr [1, стр.22]:

число степеней свободы:

 

Вероятность:

По таблице находим 

 

Таким образом

 

 Следовательно, наше предположение о нормальном законе распределения верно.        

 

3) Определение доверительного интервала для средней наработки до отказа.

Наработка до отказа является случайной величиной. Математическим ожиданием ее есть средняя наработка до отказа

Отклонение Т от Т₀ можно записать в виде:

Примем, что вероятность того, что отклонение будет не больше δ, равна γ. Тогда запишем уравнение:

 

Определим длину отклонения:

 

 

 

Таким образом 

 

Отсюда с вероятностью γ = 0,95 можно утверждать, что границы доверительного интервала равны:

 

 

 

 

Литература.

1. Бабаев В.Г., Емельянов В.Н., Лукъяненко В.И. Надежность и техническая диагностика: Пособие по изучению дисциплины, выполнению контрольной и курсовой работ. М.: МГТУ ГА, 2004.

2. Бабаев В.Г., Емельянов В.Н. Показатели  безотказности авиационного РЭО:  Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1995.

3. Бабаев В.Г. Показатели ремонтопригодности  и долговечности авиационного  РЭО: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1996.

4. Бабаев В.Г. Комплексные показатели надежности и резервирования авиационного РЭО: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1997.

5. Бабаев В.Г. Испытание на  надежность: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1998.