Методы интерполяции данных

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДАННЫХ 

Е.И. Зилинская

Национальный горный университет, г. Днепропетровск, Украина

Тезисы: интерполяция, метод  ОВР, метод поверхности тренда, кригинг.

 Большое количество  задач связаны с обработкой неравномерно распределенных в пространстве данных. Особенно, это касается географических информационных систем, так как в этих системах можно произвести измерения только в некоторых точках. Решением таких задач является применение различных методов интерполяции. Интерполяция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. В данной статье будет проведён обзор наиболее известных групп методов интерполяции: метод обратных взвешенных расстояний (ОВР), метод поверхности тренда и кригинг.

Рассмотрим метод обратных взвешенных расстояний. Суть данного  метода заключается в том, что  точки, находящиеся ближе к тем, в которых производится оценивание, оказывают большее влияние, по сравнению  с удалёнными точками. Для более точного определения описания топографии набор точек, по которым будет осуществляться интерполяция, выбираются в некоторой окрестности определяемой точки, так как они оказывают наибольшее влияние на ее высоту. Это производится таким образом. Выбирается максимальный радиус поиска или количество точек, ближайших по расстоянию от определяемой точки. После этого задается вес значению высоты в каждой выбранной точке, который вычисляется в зависимости от квадрата расстояния до определяемой точки. Таким образом достигается внос большего вклада более близких точек в определение интерполируемой высоты по сравнению с более удаленными точками.

Перейдём к рассмотрению метода поверхности тренда. Этот метод  используется в том случае, когда  исследователя интересуют общие  тенденции поверхности. Аналогично методу ОВР, для поверхности тренда используется набор точек в пределах заданной окрестности. В пределах каждой окрестности строится поверхность  наилучшего приближения на основе математических уравнений, таких как полиномы или  сплайны. Для этого используется правило наименьших квадратов. Эти  уравнения нелинейными зависимостями, заменяющими кривые или другие формы  числовых последовательностей на более простые. Для построения поверхности тренда, каждое из значений в окрестности подставляется в уравнение. В результате, получается одно значение, которое присваивается интерполируемой точке. Для остальных целевых точек продолжается данный процесс.

Поверхность тренда может  быть разных порядков. Это определяется в зависимости от типа использованного  уравнения, который, в свою очередь, показывает величину волнистости поверхности. Чем сложнее поверхность тренда, тем больший порядок она имеет.

Еще один метод интерполяции - кригинг. Данный метод оптимизирует процедуру интерполяции на основе статистической природы поверхности. Кригинг схож с интерполяцией ОВР, он пределяет вес окружающих измеренных точек, чтобы вычислить искомое значение в неизмеренной ячейке. Точки, которые располагаются ближе к оцениваемой ячейке, имеют большее влияние. Но присвоение веса окружающим точкам в методе кригинга немного усложнено, по сравнению с методом ОВР. В обычном кригинге вес зависит от модели вариограммы, расстояния до оцениваемой точки и пространственного распределения точек замеров вокруг оцениваемой точки. Существует два основных вида кригинга. Универсальный используется тогда, когда поверхность оценивается по неравномерно распределенным отсчетам при наличии тренда. Ординарный кригинг  - более широко используемый их методов кригинга. Основой данного метода является предположение, что постоянное среднее значение неизвестно. В ординарном кригинге учитываются не только расстояния от интерполируемой точки, но и расстояние между самими точками так, что вес более близких друг к другу точек уменьшается. В универсальном кригинге предполагается, что в данных имеется какая-либо доминирующая тенденция, которую можно смоделировать с помощью детерминистической полиномиальной функции. Данный полином вычисляется из исходных значений измерений, и автокорреляция моделируется по случайным ошибкам. Когда к случайным ошибкам подобрана модель, перед расчетом полином суммируется с полученными данными, чтобы получился осмысленный результат. Универсальный кригинг применяется тогда, когда вы знаете, что в данных существуют определенные тенденции, и вы способны провести научное описание для их подтверждения. Преимуществом кригинга является то, что он даёт не только интерполированные значения, но и оценку возможной ошибки этих значений.

Рассмотрев главные методы интерполяции, можно смело сказать, что эффективность какого-либо метода будет зависеть лишь при верном выборе, в соответствии с имеющимися данными  и анализе поставленной задачи.  

Литература: 

1)                     М.Н.  ДеМерс  Географические  информационные  системы. Основы – Пер. с англ. Дата+, 1999. – 288 с.

2)                     ESRI White paper  ArcGis 3D Analyst. 3D визуализация, топографический анализ, построение поверхностей. – 2002. – 14c.