Золотое сечение

Золотое сечение.  

"Геометрия обладает двумя сокровищами. Первое-это теорема Пифагора, второе - Божественная пропорция. Первое можно сравнить с мерой золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

Это образное высказывание Иогана Кеплера - выдающегося немецкого астронома и естествоиспытателя о "бесценных сокровищах" геометрии, прозвучавшее более четырехсот лет назад в одном из его ранних произведений, стало хрестоматийным.

История познания Божественного  сечения уходит в глубь тысячелетий; перечисление одних только имен, причастных к изучению и открытию свойств этой удивительной пропорции, заняло бы не одну страницу.

Впервые сведения о Божественном сечении встречаются  в "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) в виде задачи деления отрезка в среднем и крайнем отношении. Иначе, отрезок прямой делится на две неравные части таким образом, что большая часть его становится средним пропорциональным между целым отрезком и его меньшей частью. Пропорциональное соотношение между целым и его частями выражается иррациональным числом 1,618033988749..., или округленно, с точностью до третьего знака 1,618. Общепринятым обозначением этой пропорции является буква Ф. – первая буква имени Фидия, знаменитого скульптора Древней Греции, применявшего Божественное сечение в своих произведениях.

Знание этой пропорции  позволило уже тогда, две с  лишним тысячи лет назад, рационально  решать задачи построения правильных пяти- и десятиугольников, а также двенадцати- и двадцатигранников.

Первым, кто назвал данную пропорцию "Божественной" (De devina proportion), был итальянский математик Лука Пачиоли, издавший в 1509 г. книгу одноименного названия; иллюстрации к этой книге были выполнены великим Леонардо да Винчи. Последнему и принадлежит термин "Золотое сечение" (Sectio area).

Пропорция золотого сечения  и ее производные применялись  архитекторами античного мира, а  также  Эпохи Возрождения для  модуляции фасадов зданий. Древнерусские  зодчие при строительстве церквей  использовали стройную систему величин, в которую эта пропорция включалась в качестве частного случая. В качестве примера можно привести православный восьмиконечный купольный крест русских церквей 12-19 веков (см. рис. 17).

В исследованиях по истории  архитектуры отечественные ученые отмечают, что различные типы древнерусских саженей: казенных, народных, малых, греческих, церковных, простых, великих и царских оказываются производными числа Ф.

Знаменитые итальянские  мастера музыкальных инструментов Маджини, Амати, Гварнери,  Страдивари сознательно создавали свои скрипки в пропорциях, в строгом соответствии закону золотого сечения. Исследователи обнаруживают эту же пропорцию в ритмах и композициях музыкальных произведений Баха, Моцарта, Бетховена, Скрябина и др. композиторов.

В середине прошлого века немецкий ученый А. Цейзинг пришел к выводу, что Божественная пропорция проявляется в строении тела, как человека, так и животных. Естествоиспытатели открыли золотое сечение также и в растительном мире. В частности, было показано, что угловое расхождение ветвей многих растений определяется так называемым идеальным углом, величина которого равна 360°: Ф ^{- 2}   = 137° 30'.

Опыты, проведенные  в конце прошлого века основоположником психофизики Г. Фехнером, показали, что Божественная пропорция является общей эстетической нормой восприятия человеком окружающего мира. Огромному множеству созданных человеком предметов (книги, картины, мебель и т.д.) частью сознательно, а большей частью бессознательно придается форма с пропорциями "золотого сечения". Некоторые археологи, основываясь на наскальных рисунках, найденных в районах палеолитических стоянок человека, относят начало практического (хотя и бессознательного) использования человеком этой пропорции к древнейшему периоду, отстоящему от нашего времени на 20-25 тысяч лет. 

Рис. 17. A) Определение золоточисленной пропорции отрезка с помощью циркуля и линейки

Б) Определение  пропорции (вурфа) структур, состоящих из трех частей

В) Статистическая модель православного восьмиконечного  креста (исследования специалистов НЕАГ «Содружество»; фотометрический анализ купольных крестов 160-ти православных храмов XI-XIX вв.)

Г) Золоточисленные пропорции православного восьмиконечного креста, воспроизводимые с помощью бечевки, размеченной узлами. 

В пропорции золотого сечения проявляются фундаментальные  принципы природы, в частности, принцип  оптимальности. Еще  в 13 в. итальянский  купец, математик Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский), путешествуя по Востоку и познакомившись с достижениями арабской математики, написал трактат  об арифметике, где среди множества  задач привел ставшую впоследствии знаменитой задачу о размножении  кроликов. При решении этой задачи возник ряд чисел, в последствии названный астрономом Кеплером рядом Фибоначчи. Начальные числа этого ряда суть: 0,1,1,2,3,5,8,13,21... и т.д., то есть каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих. Отношение же двух стоящих рядом членов этого ряда приближается к числу Ф, и тем точнее, чем дальше пара отстоит от начала ряда Ряды Фибоначчи позволяют быстро решать задачи, связанные с поиском оптимальных решений.

Если иметь  в виду системообразующую роль Божественного сечения, как пропорции, непосредственно отражающей свойства симметрии 5-го порядка- симметрии жизни, то фундаментальное значение числа Ф =1,618, как мировой космической константы, становится очевидным.

Универсальность этой пропорции явственно обозначилась в исследованиях симметрии сложных  динамических систем, обусловленных развитием робототехники. Российский ученый С.В. Петухов в конце 70-х в начале 80-х гг. обосновал и ввел в научный обиход понятие "Золотого вурфа". Термином "вурф" (нем. - бросок, скачок) в математике обозначается сложное ангармоническое соотношение частей трехчастных объектов, тогда как золотой вурф отражает гармоничное взаимное состояние частей и в целом динамики всего объекта. Так, если прямая единичной длины состоит из трех отрезков A, B и C, то пропорциональное соотношение их записывается в виде простого выражения:

С.В. Петухов показал, что  для различных объектов живой  природы, в том числе и для  человека, величина вурфа составляет 0,5Ф² = 1,309. Простой иллюстрацией этого является рука человека, состоящая из плеча, предплечья и кисти, или нога, состоящая из бедра, голени и стопы; соотношение их длин определяется вышеуказанным золотым вурфом.

Важно отметить тот факт, что золотой вурф не является прерогативой только "механических" систем. Он проявляется и во временной последовательности событий, процессах энергомассобмена, в демографических процессах. В экономике законы Божественной пропорции проявляются через гармоничное воздействие трех форм собственности – ГОСУДАРСТВЕННОЙ, КОЛЛЕКТИВНОЙ И ЛИЧНОЙ.