Задачи по "Геометрие"

Задача 1: Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и серединой в этой точке.

Анализ: Дан угол ЕАР и точка М внутри угла. Пусть ВС искомый отрезок, удовлетворяющий условиям задачи: ВМ=МС, В на АЕ, С на АР. Проведем АМ, откладываем на его продолжении отрезок МК=АМ. Треугольники АМВ = КМС (по I признаку). У них: углы ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК, ВМ=МС. Следовательно, углы ВАМ= МКС. Значит, построение ВС сводится к построению точки С на АР, т.е. к построению АК=2АМ и углов МКС= ВАМ.

Построение:

1) Проводим луч АМ, откладываем на его продолжении МК=АМ.

2) Строим углы МКС = ЕАК. Получаем С на стороне АР угла ЕАР.

3) Проводим луч СМ, получаем В на луче АЕ.

Отрезок ВС – искомый.

Доказательство: При построении получаем треугольники АМВ = КМС (по II признаку). У них: углы ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК (по построению), углы ВАМ= МКС (по построению). Следовательно, ВМ=МС. Получаем ВС – искомый отрезок.

Исследование: Построение выполнимо всегда, т.к. сводится к построению отрезка, равного данному, и угла, равного данному.

Задача 2. Дана прямая, на которой лежит биссектриса угла A треугольника ABC. По разные стороны от этой прямой даны две точки – основания: а) медиан; б) высот, проведенных из вершин B и C. Восстановите треугольник ABC.

Анализ: Пусть треугольник АВС (луч АО – биссектриса А, медианы СN, ВМ) – искомый. Проведем ММ1||АО и NN1||АО. Треугольники АКМ= АКМ1 (треугольники АРN= АРN1) (по II признаку). У них: 1) АК (АР) – общая, 2) углы АКМ= АКМ1=90 градусов (углы АРN= АРN1=90 градусов), 3) углы КАМ= КАМ1 – АО биссектриса А. Получаем, что точки М, М1 лежат на АС, а N, N1 лежат на АВ и находятся на одном расстоянии от АО. Аналогично, если точки N, М – основания высот.

Построение:

а)

1) Строим МК перперндикулярно АО и NР перпендикулярно АО. Откладываем КМ1=КМ и РN1=РN. Проводим прямые МN1 и NМ1, получаем А на пересечении АО, МN1 и NМ1.

2) Откладываем МС=АМ и NВ=АN. Проводим ВС.

Треугольник АВС построен.

б)

1) Строим МК перперндикулярно АО и NР перперндикулярно АО. Откладываем КМ1=КМ и РN1=РN. Проводим прямые МN1 и NМ1, получаем А на пересечении АО, МN1 и NМ1.

2) Строим МВ перперндикулярно АМ (В – точка пересечения МВ и АВ), NС перперндикулярно NА (С – точка пересечения NВ и АМ).

Треугольник АВС построен.

Доказательство: В обоих случаях мы получаем: точки М и М1 лежат на АС, N и N1 лежат на АВ. Треугольники АКМ= АКМ1 (по I признаку). У них: 1) АК – общая, 2) углы АКМ= АКМ1=90 градусов, 3) КМ= КМ1 – по построению. Углы КАМ= КАМ1, т.к. АО биссектриса А. а) точки N, М – основания медиан, т.к. по построению МС=АМ и NВ=АN. б) точки N, М – основания высот, т.к. по построению МВ перпендикулярно АМ, NС перпендикулярно NА.

Исследование: задача не имеет решения, если точки N, М находятся на одном расстоянии от АО. При этом МN1||AO, NМ1||AO МN1||NМ1 точку А построить невозможно.

Задача 3: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов . 

Анализ: Пусть треугольник АВС (угол А=90 градусов) построен. На луче ВА отложим отрезок AD = AC. Получим треугольник АDС – равнобедренный, в котором углы С и D равны половине угла А, т.е. 45 градусов (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению треугольника ВСD по двум сторонам BD = b+а, ВС = с и угол D=45 градусов. Чтобы получить точку А, достаточно провести СА перпендикулярно DВ.

Построение:

1) Строим треугольник ВСD: BD = b+а, ВС = с и угол D=45 градусов.

2) Проводим СА перпендикулирно DВ.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство: При построении получаем треугольника АDС (угол А=90 градусов – по построению)угол CDA=45 градусов следовательно угол АСD= 45 градусов следовательно АС=DC. Т.к. ВС = с , BD = b+а, то АВ+АС= BD = b+а. Значит, треугольник АВС – искомый.

Исследование: Построение выполнимо если b+а>с.

Задача 4. Постройте треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, суммы двух других сторон.

Анализ: Пусть треугольник АВС – искомый. На продолжении АВ отложим AD=CA. Соединим C и D. В треугольнике CBD имеем: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B. Треугольник CBD можно построить по двум сторонам и углу между ними. Треугольник CAD – равнобедренный: АН – высота, медиана. Проведя серединный перпендикуляр АН к CD, определяем вершину А.

Построение:

1) Строим треугольник CBD: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B.

2) Проводим серединный перпендикуляр АН к CD и получаем вершину А.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство: При построении получаем треугольник CBD: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B. Также треугольник CАD: СН=HD, АН перпендикулярно CD следовательно треугольники АНС = АHD (по катетам)следовательно АС=AD. Т.к. BD = b+c, то ВА+АС= BD = b+c. Треугольник АВС – искомый.

Исследование: Построение выполнимо если b+а>с.

Задача 5. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

Анализ: Пусть треугольник АВС – искомый. На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложим отрезки DA = АС и ВЕ = СВ и соединим D с С и Е с С, получим треугольник DCE, в котором DE = Р. Треугольники DAC и ВЕС – равнобедренные, и АК перпендикулярно DC, где DK = KC и BF перпендикулярно FE, что позволит определить вершины А и В. Угол D= половине угла А, угол Е= половине угла В (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению треугольника DCE по стороне DE=Р и углам D и E.

Построение:

1) Строим угол D = половине угла А, угол Е = половине угла В (биссектрисы углов).

2) Строим треугольник DCE: DE=Р, угол D, угол E.

3) Проводим серединные перпендикуляры АК к DC и BF к FE, получаем вершины А и В.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство:

1) При построении получаем:

1. Треугольник CАD: СК=КD, АК перпендикулярно CD следовательно треугольники АКС = АКD (по катетам) следовательно AD=CA

2. Треугольник CВЕ: СЕ=FE, BF перпендикулярно CE следовательно треугольники CFB = BFE (по катетам) следовательно CF=FE

2) DE = DA+AB+BE = CA+AB+BC = P

3) Угол BAC= удвоенному углу D, угол CBA = удвоенному углу E (свойство внешнего угла треугольника) следовательно углы В и А – искомые.

Значит, треугольник АВС – искомый.

Исследование: Построение выполнимо если угол В + угол А < 180 градусов.