Шпаргалка по "Геометрии"

Окружность.

Теорема 1.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Теорема 2.

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые  ею дуги пополам.

Теорема 3.

Диаметр, проведённый  через середину хорды, перпендикулярен  этой хорде и делит дугу, стягиваемую  ею, пополам.

Теорема 4.

Диаметр, проведённый  через середину дуги, перпендикулярен  хорде, стягивающей эту дугу, и  делит её пополам.

Теорема 5.

Дуги, заключённые между  параллельными хордами равны.

Теорема 6.

Прямая касается окружности в некоторой  ее точке тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу  окружности, проведенному в эту точку.

Теорема 7.

Если хорда параллельна касательной, то точка касания делит дугу, стягиваемую  хордой, пополам.

Теорема 8.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны  и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и  центр окружности.

Теорема 9.

Вписанный угол измеряется половиной  дуги, на которую он опирается.

Теорема 10.

Угол, вершина которого лежит внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.

Теорема 11.

Угол, вершина которого лежит вне окружности и стороны  которого пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема 12.

Угол между касательной к  окружности и хордой, проведенной  через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри того угла.

Следствие 1.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр— прямой.

Следствие 2.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Теорема 13.

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

2) В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Следствие.

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Теорема 14.

Для того чтобы около выпуклого  четырехугольника можно было описать  окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов  этого четырехугольника была равна 180∘.

Следствие 1.

Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность.

Следствие 2.

около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная.

Теорема 15. 

В   описанном  четырёхугольнике  суммы   противоположных сторон равны.