Правильные многогранники

школа 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             Правильные многогранники 
 
 
 
 
 

                                               Работу выполнила

                                               -----------------------------

                                               Учитель геометрии

                                                                                              ----------------------------- 
 
 
 
 

Киров

2008

                           Теоретическая часть

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер. Примером правильного многогранника является куб. Все его грани – равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра.

Очевидно, все  рёбра правильного многогранника  равны друг другу. Можно доказать, что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим  ребром.

Докажем, что  не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n – угольники при n>=6. Угол правильного n-угольника при n>=6 не меньше 120 градусов. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани  - правильные n- угольники при n>=6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы меньше чем 120*3=360 градусов. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

По этой же причине  каждая вершина правильного многогранника  может быть вершиной либо трёх, четырёх  или пяти равносторонних треугольников, либо трёх квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники:

Правильный  тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.

Правильный  октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусам.

Правильный  икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусам.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусам.

Правильный  додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусам.

Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников. Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных рёбер, является его осью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Куб имеет один центр  симметрии – точку  пересечения его  диагоналей. Прямые, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных граней и середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.

Сам факт существования  всего пяти действительно правильных многогранников удивителен  - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.

Все правильные многогранники были известны ещё  в Древней Греции, и им посвящена  заключительная, ХIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами- в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр  - воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по – латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по- видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов. Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: как уже говорилось, его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.  
 
 
 

                                        Литература

1. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика».
2. Учебник по геометрии 10 – 11 класс. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселёва, Э.Г. Позняк.