Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений

Определение касательной и  нормали к плоской  кривой. Вывод их уравнений.

Касательной к данной кривой в данной на ней  точке M₀ называется предельное положение секущей при условии, что точка M₁, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M₀.

 

Нормалью  данной кривой в данной на ней точке  называется прямая, проходящая через  эту точку перпендикулярно касательной  в этой точке. 

Дифференцируемости функции.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в  точке x=x₀, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде Dy=ADx+a(Dx)Dx, где A=const,  

Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке. 

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и если или,что то же самое

 

Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. 

Если  функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке. 

Дифференциал  функции.

Дифференциалом  дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции.  

Определение максимума и минимума. Доказательство достаточных  условий экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x₀, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀)>f(x) [f(x₀)<f(x)]. 

Если  функция y=f(x) непрерывна в точке x=x₀ и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и если при переходе через эту точку производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум: если знак f ‘(x) меняется с “+” на “-” - то функция имеет максимум в этой точке; если с “-” на “+” - то минимум. 

Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточные условия.

График  функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x₀;f(x₀)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График  функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала. 

Определение точки перегиба. Достаточные  условия.

Точка (x₀;f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости. 

Определение асимптоты к графику  функции и нахождение невертикальной асимптоты.

Асимптотой  данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Вертикальные  асимптоты - асимптоты, параллельные оси  ординат.

Наклонные  асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy.

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.

Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)¹0, тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)

Т-ма Логранджа. Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7)

Придадим  ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля  соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

Геометрический смысл:

Если  функция y=f(x) на отрезке [a;b] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, то на дуге, являющейся графиком этой функции, найдется такая точка, касательная в которой будет параллельна хорде, стягивающей эту дугу. 
 

Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает  на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда в нутри отрезка a,b найдтся  такая точка что f‘(c)=0.

Док-во. Р-рим сначала, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

Геометрический смысл:

Если  функция y=f(x) удовлетворяет на отрезке [a;b] всем условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется такая  точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс. 

Частные производные высшего  порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

¶z/¶x=f¢_x(x,y)

¶z/¶y=f¢_y(x,y)

В общем  случае,  эти производные также  являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные  частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я  равны. 
 

Экстремумы  функции 2ух переменных.

Рассмотрим  функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р₀(x₀,y₀) - внутренняя точка этой области.

Опр. Точка р₀ наз. Точкой max  функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство:

f(x,y)< f(x₀,y₀)

min - наоборот

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р_0.

Если  ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю.

f¢_x(x₀,y₀)=0

f¢_y(x₀,y₀)=0

Пусть в точке р₀  функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у.

f¢_y(x,y)=j¢(у)

При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р₀ достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

j¢( y₀)=0 ® f¢_y(x₀,y₀)=0, аналогично по х.

Опр. Точка р₀ при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).

Из этого  следует, что экстремум функция 2х  переменных может достигать только в стационарных точках (если она  диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой функции

r=¶²z/¶x²    s=¶²z/¶x¶y   t=¶²z/¶y²

Вычислим  в точке р₀ значение выражения (rt-s²)_po, если это выражение >0, то в т. р₀ сущ. экстремум.

При этом если r>0 р₀ -min; r<0 р₀ -max

Если  rt-s²<0 - экстремума нет.

rt-s²=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования.

Формула Тейлора:

  

— полином Тейлора функции 

,где— остаток формулы Тейлора.