Многогранники

Федеральное государственное общеобразовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

Кафедра

  «Начертательная геометрия 

и инженерная графика»

 

 

 

 

Реферат

на  тему: «Многогранники»

 

 

 

 

 

 

Разработал  студент ДТКК_11б 

Вольский Алексей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2011

 

Многогранник: виды и классификация.

 

Многогранник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника.

 

Приведённое определение  многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению многогранника. Основная часть статьи построена на основе второго определения многогранника, при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранник как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел "дырок", т. е. — что эти тела не односвязаны.

 

Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ. а - тетраэдр, или  пирамида с треугольными гранями; б - пирамида с треугольными гранями  и квадратным основанием; в - треугольная  призма; г - пятиугольная призма; д - р-угольная антипризма; е - исключенный тип многогранника  с пересекающимися гранями.

 

 

 На рис. 1 представлены несколько  известных многогранников. Первые два  служат примерами р-угольных пирамид, т.е. многогранников, состоящих из р-угольника, называемого основанием, и р треугольников, примыкающих к основанию и имеющих общую вершину (называемую вершиной пирамиды). При р = 3 (см. рис. 1,а) основанием может служить любая грань пирамиды. Пирамида, основание которой имеет форму правильного р-угольника, называется правильной р-угольной пирамидой. Так, можно говорить о квадратных, правильных пятиугольных и т.д. пирамидах. На рис. 1,в, 1,г и 1,д приведены примеры некоторого класса многогранников, вершины которых можно разделить на два множества из одинакового числа точек; точки каждого из этих множеств являются вершинами р-угольника, причем плоскости обоих p-угольников параллельны. Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны и расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника параллельными прямолинейными отрезками, то такой многогранник называется р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных призм могут служить треугольная призма (р = 3) на рис. 1,в и пятиугольная призма (р = 5) на рис. 1,г. Если же основания расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника зигзагообразной ломаной, состоящей из 2р прямолинейных отрезков, как на рис. 1,д, то такой многогранник называется р-угольной антипризмой.

Кроме двух оснований, у р-угольной призмы имеются р граней - параллелограммов. Если параллелограммы имеют форму  прямоугольников, то призма называется прямой, а если к тому же основаниями  служат правильные р-угольники, то призма называется прямой правильной р-угольной призмой. р-угольная антипризма имеет (2p + 2) граней: 2р треугольных граней и два p-угольных основания. Если основаниями  служат конгруэнтные правильные р-угольники, а прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна их плоскостям, то антипризма называется прямой правильной р-угольной антипризмой. В определении  многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить  из рассмотрения такие аномалии, как  две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение  множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две  грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий  этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна  и называется "внутренней". Другая, оставшаяся часть, называется внешней. Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий  любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в и 1,д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1,г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.

 

Выпуклый многогранник.

Выпуклый многогранник - выпуклая оболочка конечного числа точек в евклидовом пространстве Eⁿ. Такой В. м. есть ограниченное непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Бесконечным выпуклым многогранником называют пересечение конечного числа замкнутых полупространств, содержащее, по крайней мере, один луч, причем уславливаются пространство   также считать выпуклым многогранником. В этом смысле выпуклый многогранник есть замкнутая выпуклая оболочка конечного числа точек и лучей. Размерностью выпуклого многогранника называют минимальную размерность содержащего его пространства 

Выпуклый многогранник - частный вид выпуклого множества. Как пересечение полупространств выпуклый многогранник описывается системой линейных неравенств и может быть исследован алгебраическими средствами. Методы минимизации линейных форм на выпуклом многограннике составляют предмет линейного программирования.

Выпуклый многогранник имеет конечное число граней (пересечений В. м. с опорными гиперплоскостями). Каждая грань выпуклого многогранника есть выпуклый многогранник меньшей размерности. Грани граней являются гранями исходного выпуклого многогранника. Одномерные грани называются ребрами, нульмерные - вершинами. Ограниченный выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка своих вершин.

В теории выпуклых поверхностей В. м. наз. также границу В. м., а иногда даже часть такой границы. В последнем случае говорят о выпуклом многограннике с краем. В элементарной геометрии принято первоначально определять многогранник как фигуру, специальным образом составленную из многоугольников, а затем выделять выпуклый многогранник как лежащий по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Ограниченный n-мерный выпуклый многогранник имеет не менее чем   вершину. Наиболее просто устроен симплекс, имеющий   вершину. Всякий ограниченный выпуклый многогранник разбивается на симплексы, прилегающие по целым граням.

Теорема Эйлера.

Пусть В - число вершин выпуклого  многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство

В - Р + Г = 2

Число х= В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы:

Многогранник	В	Р	Г	х
тетраэдр	4	6	4	2
куб	8	12	6	2
n-угольная пирамида	n +1	2n	n +1	2
n-угольная призма	2n	3n	n +2	2

Имеется много доказательств  теоремы Эйлера. В одной из них  используется формула для суммы  углов многоугольника. Рассмотрим это  доказательство. Возьмем с наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О (рис.2)

Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2.

Следствие из теоремы Эйлера

Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

1. Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г;
2. Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г;
3. У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол;
4. Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π.

Докажем некоторые из следствий.

5. Доказать утверждение 1) (Р+6≤ 3В).

Доказательство:

Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде

Р + 2 = В + Г

И другой раз в виде

4 = 2В - 2Р + 2Г

Складывая эти равенства, получаем

Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р

Так как у каждой грани  многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу получаем Р + 6≤ 3В.

Утверждение 1) доказано.

6. Доказать утверждение 4).

Доказательство:

Обозначим через Гi число i-угольных граней в многограннике М. Ясно, что

Г = Г3 + Г4 + Г5 + … (1)

Ясно также, что каждая i-угольная грань содержит i ребер многогранника. С другой стороны, каждое ребро многогранника принадлежит в точности двум граням. Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … каждое ребро многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды. Отсюда имеем

2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +… (2)

Рассмотрим теперь сумму S плоских углов многогранника:

S = Г3 ·π + Г4 · 2π + Гi · ( i -2 )π + … (3)

С учетом соотношений (1) и (2) и теоремы Эйлера соотношение (3) можно переписать так:

S = Г3 ( 3 - 2 )π + Г4 (4 -2 )π + Гi ( i - 2 )π + … = 2Рπ - 2Гπ = 2Вπ - 4π.

Утверждение 4) доказано.

Как отмечал Эйлер в  одной из своих работ, многоугольники на плоскости можно классифицировать по числу сторон (или, что все равно, по числу вершин): треугольники, четырехугольники и т. д., в то время как аналогичный вопрос описания многогранников оказывается гораздо сложнее. Теорема Эйлера помогает немного разобраться в этом вопросе.

Например, из теоремы Эйлера, можно вывести, что если все грани выпуклого многогранника есть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть, а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двенадцать. Естественно спросить, а сколько при этом у многогранника вершин, в которых встречается шесть многоугольников. Канадский математик Бранко Грюнбаум обнаружил, что при тех же предположениях число вершин, в которых встречается шесть треугольных граней, может быть любым, кроме единицы.

В евклидовом пространстве   есть пять правильных Выпуклых многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Это тела Платона.

 

Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет  следующим двум условиям: (i) все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники; (ii) к каждой вершине примыкает одно и то же число граней. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л. Шлефли (1814-1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются "правильными звездчатыми многогранниками".

Платоновы тела. На рис. 3 изображены правильные многогранники. Рис. 3. ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней конгруэнтные правильные многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы, как показано на рисунке, тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе - число граней, примыкающих к каждой вершине.

Простейшим из них является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и  к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует  запись {3, 3}. Это не что иное, как  частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) - прямая квадратная призма, все шесть  граней которой - квадраты. Так как  к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен  восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один - правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.