Матричная форма формулы Крамера

С.К. Соболев

Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости. 

Рассмотрим  систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую  
т уравнений и п неизвестных:

                                                                                             (1)

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме . Форма (1) называется координатной записью системы. Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной», она принимает вид:

                                                                                              (2)

Если  же матрица А к тому же не вырождена, т.е. , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле

                                     .                                                                                          (3)

Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение , где  
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:     
                  

Следовательно,  
      .

Ответ:  

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Эти формулы  применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель , убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель ( ) получается из главного определителя заменой в нем k-го столбца на столбец В свободных членов:

Тогда решением системы (2) будет: .

Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3) .

Вспомним, что  , где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Получим

    .

Итак, матричный  способ дает формулу 

                                                                             (4)

Сравним эту формулу с выражением для , полученным по формуле Крамера:

                .                                              (5)

Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

                 .                                                    (6)

Полученная  формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.

Пример. Решить систему  методом Крамера, если это возможно:

Решение. Вычислим главный определитель системы: , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:

Следовательно, .

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

                                 .

Доказательство  этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

1. Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):  
                  (разложение по i-й строке),     
                 (разложение по j-му столбцу)
2. Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов):  
          ,  (для строк, при ),     
          (для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств  определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:   
       если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.

Теперь  докажем свойство (2). Заменим в  определителе  
j- строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j-й строке, получим:             
                       

Аналогично  доказывается для столбцов. 

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать: 

Общий критерий линейной зависимости  векторов произвольного  линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных. 

Основное  свойство линейной зависимости: Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы.

Доказательство  этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.